Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Processus de naissance et de mort
File d'attente markovienne

Processus de naissance et de mort en équilibre
Interprétation intuitive
Condition d'existence d'équilibre
Exercices
Notation X/Y/s/s
Système M/M/1
Système M/M/s
Système M/M/1/K
Système M/M/s/s
Système M/M/ 
Système fermés
Critère d'applicabilité des modèles markoviens
Etude des arrivées
Etude des services


Auteur(s) : Nasser Saheb - IUP Miage Bordeaux
Date de dernière modification : 06 octobre 2004

Processus de naissance et de mort en équilibre

Sauf dans les cas très simples, il est impossible de résoudre les équations différentielles caractérisant un processus de naissance et de mort et, donc, de trouver une expression close pour  . Nous nous bornons ici à une étude de la distribution stationnaire lorsqu'elle existe. Partons donc de l'hypothèse suivante :

 .

On doit alors avoir :

 

Ce système d'équations et   permettent de trouver la distribution stationnaire  .

 

 

Interprétation intuitive

Considérons les liens suivants entre l'état Ek et les états voisins Ek-1 (qui existe pour  ) et Ek+1 dans le diagramme de transition :

 

Or, la condition d'équilibre implique :

 

Cette équation reste valable pour et , si l'on pose  .

Pour résoudre ce système d'équations, nous les mettons sous la forme suivante :

 

Il en résulte que

 

On en déduit    et, donc :

 

Puisque la somme des probabilité est égale à 1, on aura :

 

Cette dernière équation permet de trouver une expression pour p0 et donc pour pk, par les équations ci-dessus.

 

 

Condition d'existence d'équilibre

Remarquons d'abord que   ne peut être une distribution de probabilité que si la série   converge. Cette condition est donc une condition nécessaire pour l'existence d'une distribution stationnaire. Soient :

 

et

 

On démontre que tous les états du processus sont :

C'est le premier cas qui nous intéresse. Une condition suffisante pour l'ergodicité des états d'un processus de naissance et de mort est que  , lorsque k est assez grand. Pour une preuve complète voir [4].

 

 


 

Exercices

Questionnaire de compréhension immédiate

Questionnaire à choix multiple

Exercices

 

 
Suite de la séquence (2/9)