Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Processus de naissance et de mort
File d'attente markovienne

Processus de naissance et de mort en équilibre
Interprétation intuitive
Condition d'existence d'équilibre
Exercices
Notation X/Y/s/s
Système M/M/1
Système M/M/s
Système M/M/1/K
Système M/M/s/s
Système M/M/ 
Système fermés
Critère d'applicabilité des modèles markoviens
Etude des arrivées
Etude des services
Exercices


Auteur(s) : Nasser Saheb - IUP Miage Bordeaux
Date de dernière modification : 06 octobre 2004

Systèmes fermés

Les systèmes que nous avons considérés jusque là étaient tous ouverts dans la mesure où le nombre d'usagers potentiels était supposé non borné. Or, il y a des situations réelles dans lesquelles le système n'est pas ouvert à tout le monde et les usagers potentiels sont fixés une fois pour toute. Dans cette condition, il est normal qu'on suppose que le taux d'arrivée est proportionnel au nombre de clients potentiels qui sont encore à l'extérieur du système. Les systèmes d'attente soumis à cette contrainte sont appelés systèmes fermés.

Considérons un système fermé avec N usagers potentiels, s serveurs identiques, chacun de taux de service  . Si, à l'instant t, le nombre d'usagers dans le système est  , le taux d'arrivée est de  , puisque le nombre d'usagers potentiels qui peuvent le joindre pour un service est N - k. On retient l'hypothèse de durée de service exponentielle. On peut alors modéliser le système par un processus de naissance et de mort à N + 1 états suivants :

 

On peut supposer que   sans perte de généralité. En effet, le taux de service ne peut pas dépasser  .

Nous avons le diagramme de transition suivant :

 

Le système admet une distribution stationnaire, puisque  . Nous avons alors :

 

On en déduit

 

Pour le nombre moyen d'usagers en attente, nous avons :

 

 

 
Suite de la séquence (8/9)