Montrer que la somme de deux processus indépendants de Poisson de taux respectifs
et
est un processus de Poisson de taux
.
Réciproquement : soit
une source d'usagers qui est un processus de Poisson de taux
; soit la somme de
sources indépendantes
. On suppose que la probabilité pour qu'un usager quelconque de
soit originaire de
est
, avec
. Montrer que chaque source
d'usagers est un processus de Poisson de taux
.
On considère deux processus de Poisson
et
indépendants de taux
et
respectivement. Posons :
.
Le processus
n'est pas poissonnien. Pourquoi ?
Donner une caractéristique de
par sa fonction génératrice :

En déduire l'espérance mathématique et la variance de
.
On associe à ce problème la situation d'une station de taxis, où
est le taux d'arrivée de passagers et
celui de taxis. Que peut-on dire de
?
Exercice 3 (arrivées par paquets) :
Considérons un système d'arrivées d'usagers, où les clients arrivent à plusieurs. Des « paquets » d'usagers arrivent suivant un processus de Poisson de taux
, mais chaque arrivée contient un nombre aléatoire de clients (indépendamment des autres).
Etudier le nombre total d'usagers passés dans le système via une fonction génératrice dans les cas suivants :
Chaque arrivée contient un nombre aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre
.
Chaque arrivée contient un nombre aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres
et
.
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