Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Description d'un processus de Poisson
Exercices

Exercice 1 :

  1. Montrer que la somme de deux processus indépendants de Poisson de taux respectifs et est un processus de Poisson de taux .

  2. Réciproquement : soit une source d'usagers qui est un processus de Poisson de taux  ; soit la somme de sources indépendantes . On suppose que la probabilité pour qu'un usager quelconque de soit originaire de est , avec . Montrer que chaque source d'usagers est un processus de Poisson de taux .

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Exercice 2 :

On considère deux processus de Poisson et indépendants de taux et respectivement. Posons : .
 

  1. Le processus n'est pas poissonnien. Pourquoi ?

  2. Donner une caractéristique de par sa fonction génératrice :

  3. En déduire l'espérance mathématique et la variance de .

  4. On associe à ce problème la situation d'une station de taxis, où est le taux d'arrivée de passagers et celui de taxis. Que peut-on dire de  ?

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Exercice 3 (arrivées par paquets) :

Considérons un système d'arrivées d'usagers, où les clients arrivent à plusieurs. Des « paquets » d'usagers arrivent suivant un processus de Poisson de taux , mais chaque arrivée contient un nombre aléatoire de clients (indépendamment des autres).

Etudier le nombre total d'usagers passés dans le système via une fonction génératrice dans les cas suivants :

  1. Chaque arrivée contient un nombre aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre .

  2. Chaque arrivée contient un nombre aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres et .

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