Solution de l'exercice 1

a. Soit un intervalle de temps. La probabilité d'une arrivée dans le processus résultant vaut :

Cette probabilité ne dépend pas des événements précédant l'instant . On en déduit que le processus résultant est un processus de Poisson de taux .

Une autre méthode pour démontrer cette proposition est la propriété bien connue que la somme des v.a. indépendantes de Poisson de paramètres et est une v.a. de Poisson de paramètre . Ainsi, si est le nombre total d'arrivées dans l'intervalle , on a :

b. Réciproquement :

Considérons un intervalle de temps et calculons la probabilité pour qu'une arrivée ait eu lieu dans pendant cet intervalle.

Le terme correspond aux probabilités de plus d'une arrivée dans . Le processus d'arrivées dans est donc bien de Poisson de taux .

Il existe une autre démonstration fondée sur le calcul de pour la source .