Solution de l'exercice 1
a. Soit
un intervalle de temps. La probabilité d'une arrivée dans le processus résultant vaut :

Cette probabilité ne dépend pas des événements précédant l'instant
. On en déduit que le processus résultant est un processus de Poisson de taux
.
Une autre méthode pour démontrer cette proposition est la propriété bien connue que la somme des v.a. indépendantes de Poisson de paramètres
et
est une v.a. de Poisson de paramètre
. Ainsi, si
est le nombre total d'arrivées dans l'intervalle
, on a :

b. Réciproquement :
Considérons un intervalle de temps
et calculons la probabilité pour qu'une arrivée ait eu lieu dans
pendant cet intervalle.

Le terme
correspond aux probabilités de plus d'une arrivée dans
. Le processus d'arrivées dans
est donc bien de Poisson de taux
.
Il existe une autre démonstration fondée sur le calcul de
pour la source
.
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