Solution de l'exercice 3
a. Dans le premier cas, si est la fonction génératrice du nombre d'usagers dans une seule arrivée, on a :
On en déduit la fonction génératrice associée au nombre d'usagers dans arrivées :
Par ailleurs, la probabilité d'avoir arrivées dans l'intervalle
vaut
. D'où la fonction génératrice du nombre d'usagers est données par :
On peut facilement en déduire l'espérance mathématiques et la variance du nombre d'usagers passés dans le système dans .
Si désigne le nombre d'usagers passés dans le système dans
, un calcul simple fondé sur des dérivations (cf. exercice 2) aboutit à :
et
b. Dans le deuxième cas, avec les mêmes notations pour les fonctions génératrices nous avons :
où
.
Donc .
Un raisonnement analogue au cas précédent conduit à :
Avec un calcul similaire au calcul du cas précédent, nous aurons :
et
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