Solution de l'exercice 3

a. Dans le premier cas, si est la fonction génératrice du nombre d'usagers dans une seule arrivée, on a :

On en déduit la fonction génératrice associée au nombre d'usagers dans arrivées :

Par ailleurs, la probabilité d'avoir arrivées dans l'intervalle vaut . D'où la fonction génératrice du nombre d'usagers est données par :

On peut facilement en déduire l'espérance mathématiques et la variance du nombre d'usagers passés dans le système dans .

Si désigne le nombre d'usagers passés dans le système dans , un calcul simple fondé sur des dérivations (cf. exercice 2) aboutit à :

      et     

b. Dans le deuxième cas, avec les mêmes notations pour les fonctions génératrices nous avons :

      où     .

Donc .

Un raisonnement analogue au cas précédent conduit à :

Avec un calcul similaire au calcul du cas précédent, nous aurons :

      et