Solution de l'exercice 2
a. Le processus n'est pas un processus de Poisson. En effet,
peut prendre des valeurs négatives avec une probabilité positive, ce qui n'est pas admis dans un processus de Poisson.
b. Dans le cas de la somme de deux v.a. indépendantes, la fonction génératrice de la somme est le produit des deux fonctions génératrices. Dans le cas de la différence , la f.g. de
est le produit de la f.g. de
et de la f.g. de
.
Calculons la f.g. de :
En effet, pour
.
Donc .
On en déduit :
c. On peut calculer l'espérance mathématique et la variance d'une v.a. discrète en dérivant sa f.g. :
On en déduit : et
.
d. Soit avec
. Il est facile de voir :
Si alors
est le nombre de passagers en attente à l'instant
.
Si alors
est le nombre de taxis en attente à l'instant
.
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