Qu'est-ce qu'un processus de Poisson ?
Beaucoup de phénomènes physiques peuvent être raisonnablement modélisés par des processus de Poisson. Ces processus stochastiques , où
Pour des raisons que nous allons voir dans la suite, une incrémentation est appelée arrivée. Ces processus sont soumis à des postulats qui régissent les comportements aléatoires des occurences de nombreux phénomènes naturels. Il est aisé de désigner par
et, donc,
est la probabilité d'avoir n arrivées dans l'intervalle de temps
Divisons l'intervalle unitaire .
Soit I l'un des sous-intervalles. On a :
Par conséquent, le nombre moyen de sous-intervalles ayant reçu une incrémentation vaut :
Lorsqu'on impose l'impossibilité de simultanéité de plusieurs arrivées, si h tend vers 0, alors tend vers le nombre moyen de sauts dans un intervalle unitaire.
Supposons alors que cette limite existe et vaille , on a alors :
Donc, pour :
ou :
Un processus stochastique avec le temps continu et la variable aléatoire discrète, prenant ses valeurs dans N, est un processus de Poisson, si :
Le processus commence à l'instant 0 avec l'état
La seule transition directe admise est la transition de l'état j vers l'état
A tout instant t, la probabilité d'une arrivée dans l'intervalle et ceci quel que soit l'évolution du processus avant l'instant t et l'état du système à cet instant.
On appelle paramètre du processus ou taux d'arrivée. Le théorème suivant caractérise entièrement le nombre d'arrivées dans un intervalle de temps donné.
Théorème 1 Soit On a : c'est-à-dire que le nombre d'arrivées dans |
Pour simplifier la preuve de ce théorème central, nous montrons d'abord le lemme suivant :
Lemme 1 Pour le processus de Poisson du théorème 1, nous avons le système d'équations différentielles : |
Démonstration. Considérons deux instant t et
On a :
En effet, le premier terme du second membre est la probabilité d'avoir n arrivées jusqu'à l'instant t et 0 arrivées dans l'intervalle
On en déduit : .
Comme , on obtient :
Revenons maintenant à la preuve du théorème 1 que l'on obtient en faisant un raisonnement par récurrence.
Démonstration.
D'après le lemme précédent, on a :
Dans le cas où , le terme
disparaît, puisque la transition
  de la preuve du lemme n'existe pas. Donc, pour
  on peut écrire :
Ces deux équations différentielles constituent un système d'équations dont la solution est , lorsqu'on, impose la condition initiale (1) du processus de Poisson.
Pour , l'équation différentielle admet la solution générale :
Mais avec la probabilité 1 et, donc,
. D'où
et :
L'équation est donc valable pour
.
Montrons maintenant que si elle est vraie pour n elle est vraie pour .
Considérons donc l'équation et posons
. Il vient
.
C'est une équation linéaire avec second membre. On peut utiliser la méthode de variation de constante pour la résoudre. L'équation sans second membre admet la solution . On pose alors
, en reportant dans l'équation avec second membre ci-dessus, on obtient après les simplifications nécessaires
, ce qui admet la solution
. D'où :
.
Tenant compte de la condition initiale , on obtient
et donc :
Le nombre d'arrivées dans un intervalle de temps de durée t dans un processus de Poisson de taux suit donc une loi de Poisson de paramètre
; on en déduit :
L'espérance mathématique de .
La variance de .
La fonction génératrice de .
Un calcul simple établit les propriétés ci-dessus (voir aussi [4]).
La réciproque du théorème est aussi vraie :
Proposition 1 Si le nombre d'arrivées dans tout intervalle de temps de durée t suit, indépendamment du passé, une loi de Poisson de paramètre proportionnel à la durée t, alors le processus d'arrivées est un processus de poisson dont le taux d'arrivée est le coefficient de proportionnalité. |
Démonstration : Le processus démarre avec l'état 0. On a :
entraînant que les 3 postulats des processus de Poisson sont respectés.
Questionnaire de compréhension immédiate