Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Processus de Poisson
Description d'un processus de Poisson

Qu'est-ce qu'un processus de Poisson ?
Considérations intuitives
Description formelle
Exercices


Auteur(s) : Nasser Saheb - IUP Miage Bordeaux
Date de dernière modification : 06 octobre 2004

Qu'est-ce qu'un processus de Poisson ?

Beaucoup de phénomènes physiques peuvent être raisonnablement modélisés par des processus de Poisson. Ces processus stochastiques   , où Z(t) est une variable aléatoire discrète dans le temps continu, ne connaissant que des incrémentations à des instants quelconques.

Représentation graphique d'un processus de Poisson

Pour des raisons que nous allons voir dans la suite, une incrémentation est appelée arrivée. Ces processus sont soumis à des postulats qui régissent les comportements aléatoires des occurences de nombreux phénomènes naturels. Il est aisé de désigner   par   et, donc,   est la probabilité d'avoir n arrivées dans l'intervalle de temps [0, t].

 

Considérations intuitives

Divisons l'intervalle unitaire [0, 1] de temps en N sous-intervalles de même durée   .

Division de l'intervalle unitaire

Soit I l'un des sous-intervalles. On a :

Par conséquent, le nombre moyen de sous-intervalles ayant reçu une incrémentation vaut :

Lorsqu'on impose l'impossibilité de simultanéité de plusieurs arrivées, si h  tend vers 0, alors    tend vers le nombre moyen de sauts dans un intervalle unitaire.

Supposons alors que cette limite existe et vaille , on a alors :

Donc, pour  :

ou :

 

Description formelle

Un processus stochastique   avec le temps continu et la variable aléatoire discrète, prenant ses valeurs dans N, est un processus de Poisson, si :

  1. Le processus commence à l'instant 0 avec l'état E0 (état 0),

  2. La seule transition directe admise est la transition    de l'état  j  vers l'état  j + 1, appelée arrivée,

  3. A tout instant t, la probabilité d'une arrivée dans l'intervalle [t, t + h[ est    et ceci quel que soit l'évolution du processus avant l'instant t et l'état du système à cet instant.

On appelle   paramètre du processus ou taux d'arrivée. Le théorème suivant caractérise entièrement le nombre d'arrivées dans un intervalle de temps donné.

Théorème 1

Soit    un processus de Poisson de taux d'arrivée  .

On a : ,

c'est-à-dire que le nombre d'arrivées dans [0, t[ est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre  .

Pour simplifier la preuve de ce théorème central, nous montrons d'abord le lemme suivant :

Lemme 1

Pour le processus de Poisson du théorème 1, nous avons le système d'équations différentielles :

Démonstration.    Considérons deux instant t  et t + h et calculons la probabilité pour que le processus soit dans l'état En à l'instant t + h en termes de son état à l'instant t :

Passage de l'état de l'instant  t à l'instant  t + h

On a :

En effet, le premier terme du second membre est la probabilité d'avoir n arrivées jusqu'à l'instant  t et 0 arrivées dans l'intervalle [t, t + h[, le second terme est la probabilité de n - 1 arrivées jusqu'à  t et une arrivée dans [t, t + h[ et le terme complémentaire correspond à la probabilité de plusieurs arrivées dans [t, t + h[. L'hypothèse d'indépendance permet d'écrire la probabilité jointe comme le produit des probabilités. Le postulat 3 permet d'écrire :

On en déduit : .

Comme , on obtient :

Revenons maintenant à la preuve du théorème 1 que l'on obtient en faisant un raisonnement par récurrence.

Démonstration.

D'après le lemme précédent, on a :

Dans le cas où  , le terme    disparaît, puisque la transition    de la preuve du lemme n'existe pas. Donc, pour    on peut écrire :

Ces deux équations différentielles constituent un système d'équations dont la solution est   , lorsqu'on, impose la condition initiale (1) du processus de Poisson.

Pour  , l'équation différentielle admet la solution générale :

Mais   avec la probabilité 1 et, donc,  . D'où   et :

L'équation     est donc valable pour  .

Montrons maintenant que si elle est vraie pour n elle est vraie pour   .

Considérons donc l'équation    et posons  . Il vient   .

C'est une équation linéaire avec second membre. On peut utiliser la méthode de variation de constante pour la résoudre. L'équation sans second membre admet la solution  . On pose alors   , en reportant dans l'équation avec second membre ci-dessus, on obtient après les simplifications nécessaires   , ce qui admet la solution  . D'où :

.

Tenant compte de la condition initiale   , on obtient  et donc :

Le nombre d'arrivées dans un intervalle de temps de durée t dans un processus de Poisson de taux  suit donc une loi de Poisson de paramètre   ; on en déduit :

Un calcul simple établit les propriétés ci-dessus (voir aussi [4]).
La réciproque du théorème est aussi vraie :

Proposition 1

Si le nombre d'arrivées dans tout intervalle de temps de durée t suit, indépendamment du passé, une loi de Poisson de paramètre proportionnel à la durée  t, alors le processus d'arrivées est un processus de poisson dont le taux d'arrivée est le coefficient de proportionnalité.

Démonstration : Le processus démarre avec l'état 0. On a :

entraînant que les 3 postulats des processus de Poisson sont respectés.

 


 

Exercices

Questionnaire de compréhension immédiate

Questionnaire à choix multiple

3 exercices