Terminologie de la logique

Afin de comprendre un théorème ou une preuve, il est nécessaire de comprendre certains concepts et notations de la logique.

Lorsque nous disons ``$A$ est une condition nécessaire pour $B$'', cela veut dire ``afin que $B$ soit vrai, il faut que A soit vrai''. Par exemple ``la date d'expiration de la carte bleue est postérieure à la date d'aujourd'hui'' est une condition nécessaire pour ``la carte bleue est valide''. Autrement dit, pour que la carte bleue soit valide, il faut que la date d'expiration de la carte bleue soit postérieure à la date d'aujourd'hui. Si la carte bleue est valide, on peut alors constater que sa date d'expiration est postérieure à la date d'aujourd'hui. Une autre façon d'exprimer la phrase
``$A$ est une condition nécessaire pour $B$''
est $B \Rightarrow A$.
Par contre, on ne peut absolument pas conclure que $A \Rightarrow B$. Ce n'est pas parce que la date d'expiration de la carte est postérieure à la date d'aujourd'hui qu'elle est nécessairement valide. Il peut y avoir d'autres conditions pour qu'elle soit valide, par exemple qu'on n'ait pas fait opposition suite à un vol.

Lorsque nous disons
``$A$ est une condition suffisante pour $B$'',
c'est au contraire équivalent à $A \Rightarrow B$. Un exemple serait ``avoir le baccalauréat est une condition suffisante pour pouvoir s'inscrire à l'université''^3.1.

Mais les phrases
``$A$ est une condition nécessaire pour $B$'' ou
``$A$ est une condition suffisante pour $B$''
n'ont pas seulement une interprétation purement logique. Ces phrases expriment aussi un objectif. L'objectif dans les deux cas est $B$ et on utilise $A$ pour vérifier si l'objectif peut être atteint. Dans le cas de la phrase ``$A$ est une condition nécessaire pour $B$'', on vérifie si par hasard $A$ est faux, auquel cas on sait que $B$ est faux aussi. Si la date d'expiration est antérieure, alors la carte n'est pas valide. Dans le cas de la phrase ``$A$ est une condition suffisante pour $B$'' on vérifie si par hasard $A$ est vrai, auquel cas $B$ est vrai aussi. Si quelqu'un a son baccalauréat, alors il peut s'inscrire (ce n'est pas tout à fait vrai). Sinon, il faut chercher une autre condition suffisante. Même si techniquement la phrase
``$A$ est une condition nécessaire pour $B$'' équivaut à
``$B$ est une condition suffisante pour $A$'',
on se sert rarement de cette équivalence. On ne dit pas que ``la carte bleue est valide est une condition suffisante pour que sa date d'expiration soit dans le futur'', car cette phrase exprime comme objectif que la date d'expiration soit dans le futur, et pour le vérifier on commence par vérifier si la carte est valide. De même, on ne commence pas par vérifier si quelqu'un peut s'inscrire à l'université afin de déterminer s'il a son baccalauréat.

Une autre façon de dire
``$A$ est une condition nécessaire pour $B$'' est
``$B$ seulement si $A$''
comme dans
``la carte est valide seulement si la date d'expiration est dans le futur''.
De même, une autre façon de dire
``$A$ est une condition suffisante pour $B$'' est
``$B$ si $A$''
comme dans
``on peut s'inscrire à l'université si on a le baccalauréat''.
Ces phrases expriment bien l'objectif souhaité. On ne dit donc pas (même si c'est logiquement correct)
``on a le baccalauréat seulement si on peut s'inscrire à l'université''.

Souvent une condition (ou une combinaison de conditions) $A$ peut être à la fois nécessaire et suffisante pour une condition $B$. Dans ce cas on peut également dire
``$A$ si et seulement si $B$'' (souvent abrégé en ``$A$ ssi $B$'').
Par exemple,
``les conditions sont anticycloniques si et seulement si la pression atmosphérique est supérieure à 1013,25 hPa''.
Ce type de phrase est souvent utilisé pour définir un concept, ici ``conditions anticycloniques''. Même si la phrase
``$A$ si et seulement si $B$'' est logiquement équivalente à la phrase
``$B$ si et seulement si $A$'', pour la même raison que ci-dessus, on les inverse rarement. La phrase $A$ est souvent considérée comme l'objectif ou le concept à définir.

Afin de prouver un théorème, on utilise souvent une technique appelée raisonnement par l'absurde ou encore preuve par contradiction. On a alors besoin de calculer la négation d'une phrase.

Pour cela, il est important de connaître la négation d'un certain nombre de phrases logiques habituelles. Étant donné un énoncé logique $A$, on note $\neg A$, la négation de $A$. La négation de la phrase ``$A$ seulement si $B$'' est ``non $B$ mais $A$'' comme dans ``La date d'expiration est dans le passé mais la carte est valide''. En fait, du point de vue logique le mot ``mais'' est le ``et'' logique. On peut donc également dire ``La date d'expiration est dans le passé et la carte est valide''. Pour voir cela, il faut réaliser que, logiquement, la phrase ``$A$ seulement si $B$'' est la même chose que $A \Rightarrow B$ et que $A \Rightarrow B$ est la même chose que $B ou \neg A$. La négation de $B ou \neg A$ est $\neg B et  A$.

De même, la négation de la phrase ``$A$ si $B$'' est ``$B$ mais $\neg A$'' comme dans
``il a le baccalauréat mais il ne peut pas s'inscrire à l'université''.
Logiquement cette phrase est la même que ``$B et \neg A$''.

Si une phrase contient des quantificateurs comme $\forall a A$ ou $\exists b B$, la négation est légèrement plus difficile. La négation de la phrase $\forall a A$ est $\exists a \neg A$.
Par exemple, la négation de la phrase
``tous les nombres premiers sont impairs''
est
``il existe un nombre premier qui n'est pas impair''
ou encore
``il existe un nombre premier qui est pair''.

La négation de la phrase $\exists b B$ est $\forall b \neg B$. Par exemple, la négation de la phrase
``il existe une personne non myope''
est
``toute personne est myope''.

Notes

... l'université''^3.1

En l'occurrence ce n'est pas tout à fait vrai.