Notations

Dans ce chapitre, nous introduisons un certain nombre de concepts et de notations qui ne sont peut-être pas connus du lecteur. Par concept, il faut comprendre un nom pour une entité non encore nommée, tandis que notation signifie un symbole avec une signification particulière.

La plupart du temps, ces concepts et notations semblent plus compliqués qu'ils ne le sont réellement. Diverses raisons peuvent conduire à l'introduction d'une notation pour un concept :

• elle évitera la répétition de phrases assez longues à chaque référence au concept,
• elle permet d'être plus précis qu'une phrase de texte, souvent ambiguë,
• elle devient langage international puisqu'elle remplace par une entité simple une phrase d'une langue naturelle particulière.

Prenons quelques exemples a priori bien connus par le lecteur.

Exemples :

1. La racine carrée d'un nombre $x$ supérieur ou égal à zéro est un nombre positif tel qu'en le multipliant par lui-même, on obtient exactement le nombre $x$. La notation est $\sqrt{x}$. Supposons que nous souhaitions exprimer la relation $\sqrt{x} = {x \over \sqrt{x}}$, mais n'ayons le droit d'utiliser ni la notation $\sqrt{x}$ ni le concept racine carrée. On peut facilement obtenir des phrases comme : ``le nombre positif tel que si on le multiplie par lui-même on obtient exactement le nombre positif $x$ est égal à $x$ divisé par le nombre positif tel que si l'on le multiplie par lui-même on obtient exactement le nombre positif $x$''.

2. Les fonctions $sin \alpha$ et $cos \alpha$ sont définies par rapport à un cercle de rayon $1$. L'argument $\alpha$ de ces fonctions est l'angle orienté dans le sens des aiguilles d'une montre, formé par l'axe des $x$ positifs et une demi-droite passant par l'origine. La valeur de $sin \alpha$ est la coordonnée $y$ du point d'intersection entre la demi-droite et le cercle tandis que de $cos \alpha$ est la coordonnée $x$ de cette intersection. Afin d'exprimer une relation comme $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ sans utiliser ni les concepts de sinus et cosinus ni la notation $sin \alpha$ ou $cos \alpha$, il faudrait une phrase que sa longueur rendrait totalement incompréhensible.

L'introduction de concepts et de notations est donc à la fois normale et très souhaitable. Dans le cadre d'un livre, il est important de choisir avec soin les concepts et notations :

• il faut introduire plusieurs concepts et notations pour des notions nouvelles pour le lecteur, car le domaine de discours est nouveau (le graphe),
• en informatique, on introduit souvent un concept ou une notation pour s'en servir uniquement dans un chapitre d'un livre ou dans un article scientifique, alors que les concepts et notations mathématiques sont normalisés depuis longtemps,
• à noter qu'il peut y avoir des variations sur certains concepts et certaines notations selon l'auteur de l'ouvrage,
• l'informatique manipule des objets plus variés et concrets que la mathématique. Il faut donc faire plus attention aux notations utilisées.