Nous allons souvent utiliser la notion d'ensemble que nous supposons connue. Par contre, en informatique il faut souvent préciser la fonction de comparaison pour tester l'égalité entre deux objets.
Supposons que l'objet soit une
Renault Clio immatriculée 1234 AB 33,
l'objet
, une
Renault Mégane immatriculée 1234 AB 24
et l'objet
, une
Renault Clio immatriculée 1234 AB 40.
Étudions l'ensemble
. Est-ce que
est élément de cet ensemble? La réponse
dépend de la fonction d'égalité utilisée. Pour une application
qui n'a pas besoin de distinguer les voitures individuelles,
mais uniquement les différents modèles, on peut considérer
que
est vrai, et que par conséquent
est élément de
l'ensemble.
Nous utilisons la notation pour dire que
est élément de
l'ensemble
. Cette notation ne précise pas le test d'égalité
utilisé. Il faut donc que celui-ci soit clair d'après le contexte.
Pour dire qu'un ensemble est un sous-ensemble d'un ensemble
(à
savoir que tout élément de
est aussi élément de
), nous
utilisons la notation
. On remarque que si
, il est possible que
. Si ce n'est pas le cas, à
savoir s'il y a au moins un élément de
qui n'est pas élément de
, on le précise en écrivant
.
Nous avons souvent besoin de parler de tous les sous-ensembles
possibles d'un ensemble. Par exemple, nous avons un ensemble
contenant trois personnes :
pour Anne,
pour
Jacques et
pour Françoise,
.
Nous avons besoin d'un concept pour
parler de l'ensemble des sous-ensembles de
, à savoir les ensembles
,
,
,
,
,
,
,
et
.
Chaque sous-ensemble de
est appelé une partie de
.
L'ensemble des parties (en anglais : powerset) de
est noté
.