Concepts et notations ensemblistes

Nous allons souvent utiliser la notion d'ensemble que nous supposons connue. Par contre, en informatique il faut souvent préciser la fonction de comparaison pour tester l'égalité entre deux objets.

Supposons que l'objet $a$ soit une Renault Clio immatriculée 1234 AB 33, l'objet $b$, une Renault Mégane immatriculée 1234 AB 24 et l'objet $c$, une Renault Clio immatriculée 1234 AB 40. Étudions l'ensemble $\{a, b\}$. Est-ce que $c$ est élément de cet ensemble? La réponse dépend de la fonction d'égalité utilisée. Pour une application qui n'a pas besoin de distinguer les voitures individuelles, mais uniquement les différents modèles, on peut considérer que $a = c$ est vrai, et que par conséquent $c$ est élément de l'ensemble.

Nous utilisons la notation $x \in E$ pour dire que $x$ est élément de l'ensemble $E$. Cette notation ne précise pas le test d'égalité utilisé. Il faut donc que celui-ci soit clair d'après le contexte.

Pour dire qu'un ensemble $E$ est un sous-ensemble d'un ensemble $F$ (à savoir que tout élément de $E$ est aussi élément de $F$), nous utilisons la notation $E \subseteq F$. On remarque que si $E \subseteq F$, il est possible que $E = F$. Si ce n'est pas le cas, à savoir s'il y a au moins un élément de $F$ qui n'est pas élément de $E$, on le précise en écrivant $E \subset F$.

Nous avons souvent besoin de parler de tous les sous-ensembles possibles d'un ensemble. Par exemple, nous avons un ensemble $V$ contenant trois personnes : $A$ pour Anne, $J$ pour Jacques et $F$ pour Françoise, $V = \{A, J, F\}$. Nous avons besoin d'un concept pour parler de l'ensemble des sous-ensembles de $V$, à savoir les ensembles $\{\}$, $\{A\}$, $\{J\}$, $\{F\}$, $\{A, J\}$, $\{A, F\}$, $\{J, F\}$, et $\{A, J, F\}$. Chaque sous-ensemble de $V$ est appelé une partie de $V$. L'ensemble des parties (en anglais : powerset) de $V$ est noté ${\cal P}(V)$.