Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Processus de Poisson
Interarrivée

Interrarivée
Application des processus de Poisson et de la loi exponentielle
Exercices


Auteur(s) : Nasser Saheb - IUP Miage Bordeaux
Date de dernière modification : 06 octobre 2004

Interrarivée

Soit T  la durée de temps qui sépare deux arrivées consécutives. C'est une variable aléatoire de valeur non-négative. Elle est appelée interarrivée. Dans la suite, nous allons introduire une nouvelle caractérisation des processus de Poisson en terme d'interarrivées.

Proposition 2.

Si est un processus de Poisson de taux , alors la variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre . On a donc :

Démonstration.

Soit T l'intervalle de temps séparant deux arrivées consécutives, la première ayant eu lieu au temps s. L'événement correspond à 0 arrivée dans l'intervalle [s, s + t[. On en déduit :

Donc la fonction de répartition de T  s'écrit :

Par conséquent, la v.a. T admet la densité (qui est la dérivée de la fonction de répartition) :

La réciproque est également vraie.

Proposition 3.

Si les interarrivées forment des v.a. indépendantes (dans leur ensemble), chacune suivant une loi exponentielle de paramètre et si les arrivées ont lieu une par une, alors le processus d'arrivée est de Poisson.

Démonstration.

A l'instant 0, il y a 0 arrivée. Les seules transitions possibles sont . Considérons par ailleurs un intervalle de temps [t, t + h[. La probabilité pour qu'il n'y ait aucune arrivée dans cet intervalle est la probabilité pour qu'on ait une interarrivée de durée supérieure ou égale à h et vaut donc . Mais cette expression se développe en . On en déduit que la probabilité d'une arrivée dans l'intervalle est .

 

Fonction de répartition d'une v.a. exponentielle :

 

Densité d'une v.a. exponentielle :

 

Rappelons sans preuve les résultats suivants, qui font partie des propriétés simples des v.a. exponentielles, voir [4].

Proposition 4.

On considère un processus de Poisson de taux et l'interarrivée T associée.

  • L'espérance mathématique de T vaut .

  • La variance de T vaut .

 

La propriété ci-dessous est une particularité caractéristique de la loi exponentielle.

Proposition 5.

La loi exponentielle est une loi « sans mémoire » :

Démonstration.

Nous avons :

On peut aussi démontrer la réciproque. C'est-à-dire si T est sans mémoire et si T est une v.a. continue à valeur dans , alors T suit une loi exponentielle.

 

Application des processus de Poisson et de la loi exponentielle

Les processus de Poisson peuvent modéliser de nombreux phénomènes réels. Des tests statistiques, fondés sur des observations, permettront de juger si l'on peut raisonnablement faire appel à ce modèle dans des circonstances données. Bien que ces vérifications sortent du cadre de l'objectif que nous nous sommes donné ici, vue l'importance pratique, nous en traiterons quelques exemples simples dans une séquence ultérieure.Faisons dès maintenant les remarques suivantes.

Considérons les occurrences aléatoires aléatoires d'un événement qui se réalisent de façon homogène dans le temps continu et sans liens causaux. A titre d'exemples on peut inclure les cas :

Si Z(t) désigne le nombre d'occurrences de l'événement considéré jusqu'à l'instant t, on peut supposer que les postulats, caractérisant le processus de Poisson sont satisfaits pour le processus . Ce processus pourra donc être assimilé à un processus de Poisson et la durée de temps, qui sépare deux occurrences consécutives sera une v.a. qui suit une loi exponentielle.

De même, lorsqu'on étudie la durée de vie d'un équipement sans usure (ou une particule peu stable) dans le temps supposé homogène, on pourra postuler que la propriété sans mémoire est satisfaite pour cette durée et, donc, qu'elle suit une loi exponentielle d'un paramètre, qui reste à déterminer.

 


 

Exercices

Questionnaire de compréhension immédiate

Questionnaire à choix multiple

Exercice : Interarrivée généralisée