Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Interarrivée
Exercice : Interarrivée généralisée

Etant donné un processus de Poisson de taux , pour l'entier positif    fixé,    désigne la durée de temps qui sépare     et    arrivées. C'est une v.a. à valeurs dans . Elle généralise le concept d'interarrivée que nous avons étudiée. On a en effet .

  1. Montrer que la fonction de répartition de   est donnée par :

  2. En déduire la densité de  :

    C'est la densité de la loi Gamma de paramètres   et  . On rappelle la définition de l'intégrale eulérienne :

  3. Calculer l'espérance mathématique et la variance de , en utilisant l'intégrale eulérienne.

  4. Peut-on calculer les paramètres précédents sans passer par des intégrales eulériennes ?

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