Module C1.7 : Processus stochastique et simulation
Processus de naissance et de mort
Étude de quelques instances des processus de naissance et de mort

Processus de naissance pure de taux constant
Processus de mort pure de taux constant
Processus de naissance et de mort de taux constant
Exercices


Auteur(s) : Nasser Saheb - IUP Miage Bordeaux
Date de dernière modification : 06 octobre 2004

Processus de naissance pure de taux constant

Soit :

Le système d'équations différentielles de la proposition 1 devient :

Si nous imposons la condition initiale Z(0) = 0, nous nous retrouvons des processus de poisson de taux .

On a donc :

 

Processus de mort pure de taux constant

Soit :

avec la condition initiale Z(0) = N >0.

Nous avons le diagramme de transitions suivant :

Le système d'équations différentielles qui détermine la distribution de probabilité s'écrit :

La seconde équation et la condition initiale permettent d'obtenir une expression explicite pour . On en déduit de proche en proche  :

 

Processus naissance et de mort de taux constant

Soit :

Ce processus modélise l'évolution d'une file d'attente à un seul serveur, lorsque le processus d'arrivée d'usagers est poissonnien et la durée de service est une v.a. exponentielle. Supposons en effet que le système d'attente satisfasse ces conditions.

Nous avons alors :

Nous pouvons donc tracer le schéma d'équivalence suivant :

Le système d'équations différentielles s'écrit :

On peut résoudre ce système d'équations par la méthode des séries génératrices (ou par une transformation de Laplace). Dans la suite, nous nous limitons à une étude de la distribution stationnaire.

 


 

Exercices

Questionnaire de compréhension immédiate

Questionnaire à choix multiple