Solution de l'exercice 1 : Système avec découragement

a. Nous avons Pour , ce rapport reste inférieur à 1. Donc le système est ergodique. Les probabilités stationnaires s'écrivent en fonction de (probabilité stationnaire de 0 usagers) :

On a alors :

Et donc

Ce qui est une distribution de Poisson de paramètre .

b. Le nombre moyen d'usagers dans le système est le paramètre de la loi de Poisson :

La longueur moyenne de la file se calcule facilement :

c. Soit le taux moyen d'arrivée en régime stationnaire. Nous avons

D'où, par la formule de Little, le temps moyen passé par usager vaut :