Solution de l'exercice 2

a. Le diagramme de transition de cette instance particulière de processus de naissance et de mort est le suivant :

C'est un processus de mort pur (inversé) de taux variable. Son évolution est régie par :

avec la condition initiale .

b. Le temps de passage de vers est une v.a. exponentielle de paramètre .

On peut donc, en vertu de la propriété sans mémoire de la loi exponentielle, dire que le temps d'attente pour passer de l'état initial à l'état final est une v.a. qui est la somme de v.a. indépendantes suit une loi exponentielle de paramètre .

L'espérance mathématique de étant , on en déduit que le temps d'attente est d'espérance .