Solution de l'exercice 1 : Processus de Yule

a. Désignons par le nombre de bactéries dans le tube à l'instant . Il est clair que est une instance particulière des processus de naissance pure de taux variable.

  a le diagramme de transition suivant :

b. En portant et dans le système d'équations qui régit les processus de naissance et de mort nous aurons :

La condition initiale est .

c. Pour , nous avons :

Cette équation admet la solution générale . Tenant compte de la condition initiale, nous aurons . Donc pour , nous avons bien

. Supposons l'égalité vraie pour et montrons-la pour .

Nous avons l'équation différentielle : .

Sachant que , il vient alors : .

La méthode de résolution utilisée pour les processus de Poisson s'applique et nous obtenons la solution associée à l'équation pour obtenir l'expression .

Posons alors et portons dans l'équation différentielle initiale. Après les simplifications nécessaires il vient :

.

D'où . Donc .

On en déduit .

La condition initiale implique et donc

.

Ce qui prouve que est la forme proposée.

d. L'espérance mathématique du nombre de bactéries à l'instant est donnée par :

e. Dans le modèle déterministe, à l'instant , le nombre de bactéries vaut :

désigne la partie entière de .

Puisque , on en déduit que pour le même taux de naissance, le nombre moyen de bactéries dans le modèle probabiliste est beaucoup plus élevé que le même nombre dans me modèle déterministe !