Solution de l'exercice 1 : Processus de Yule
a. Désignons par le nombre de bactéries dans le tube à l'instant
. Il est clair que
est une instance particulière des processus de naissance pure de taux variable.
a le diagramme de transition suivant :
b. En portant et
dans le système d'équations qui régit les processus de naissance et de mort nous aurons :
La condition initiale est .
c. Pour , nous avons :
Cette équation admet la solution générale . Tenant compte de la condition initiale, nous aurons
. Donc pour
, nous avons bien
. Supposons l'égalité vraie pour
et montrons-la pour
.
Nous avons l'équation différentielle : .
Sachant que , il vient alors :
.
La méthode de résolution utilisée pour les processus de Poisson s'applique et nous obtenons la solution associée à l'équation pour obtenir l'expression
.
Posons alors et portons
dans l'équation différentielle initiale. Après les simplifications nécessaires il vient :
.
D'où . Donc
.
On en déduit .
La condition initiale implique
et donc
.
Ce qui prouve que est la forme proposée.
d. L'espérance mathématique du nombre de bactéries à l'instant est donnée par :
e. Dans le modèle déterministe, à l'instant , le nombre de bactéries vaut :
où
désigne la partie entière de
.
Puisque , on en déduit que pour le même taux de naissance, le nombre moyen de bactéries dans le modèle probabiliste est beaucoup plus élevé que le même nombre dans me modèle déterministe !
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