(ou de trouver qu'il n'y a pas de solution)

Beaucoup utilisé et réussit sur les problèmes ``réels''

Théoriquement trop lent pour des problèmes très bizarres

• Choisir une solution réalisable de base (sommet du polytope)
• Si la fonction objective a une valeur supérieure à un sommet voisin, aller à ce sommet
• Répéter (tant que possible...)

Le nombre de sommets est fini: donc terminaison garantie

Pas de maximaux locaux qui ne sont pas de maximaux globaux: donc l'algorithme ne peut se terminer qu'à une solution optimale (s'il y en a)

Comment est-ce que ça s'arrête?

Aucun sommet voisin avec une valeur supérieure de z

On a trouvé la valeur optimale (si elle existe)

• Le sommet actuel est déterminé par n équations
• Une arête du polytope qui passe par ce sommet est déterminée par n-1 parmi elles
• Un voisin est donnée par les n-1 et une nouvelle équation
• Un ensemble de n-1 des équations actuelles et une nouvelle peut échouer (aucune solution ou plusieurs solutions ou pas réalisable ou valeur pas améliorée)
• Sur une arête il n'y a que deux solutions de base réalisables

La solution de base x₁=x₂=0 est réalisable avec z=0. Les solutions voisines sont obtenues en supprimant une des équations x₁=0 ou x₂=0 et en ajoutant une des équations
3x₁+2x₂ = 30 ou -2x₁+x₂ = 8

Donc quatre possibilités:

• x₁=0, 3x₁+2x₂ = 30: x₂=15 n'est pas réalisable.
• x₁=0, -2x₁+x₂ = 8: x₂=8 réalisable avec z=16.
• x₂=0, 3x₁+2x = 30: x₁=10 réalisable avec z=-30.
• x₂=0, -2x₁+x₂ = 8: x₁=-4 n'est pas réalisable.

On continue de la solution:
x₁=0, -2x₁+x₂ = 8,   z=16.

Supprimer une des équations:
x₁=0, -2x₁+x₂ = 8
Ajouter une équation choisie parmi
x₂=0,  3x₁+2x = 30

En fait on ne trouve qu'une nouvelle solution:
3x₁+2x₂ = 30, -2x₁+x₂ = 8:
x₁=2, x₂=12 réalisable avec z=18, donc une amélioration.

Et ainsi de suite (mais pour ce petit exemple il n'y a plus de possibilités d'amélioration).

Impressionnant? Non ! On a fait 3 itérations et pour chaque itération on calcule 4 voisins; donc 12 sommets calculés
sur les 6 qui existent!

Mais pour un exemple de taille raisonnable c'est mieux :
10 variables et 10 contraintes explicites : 184756 sommets
Si l'algorithme prend 40 itérations (un peu pessimiste), on n'en calcule que 40 ×10 ×10  =  4000.
(Et on va voir que le vrai algorithme fait encore moins de calcul)

Plus la taille du problème est élevée, plus cette méthode gagne par rapport à la méthode très naïve de calculer toutes les solutions de base.

Le ``vrai'' algorithme du simplexe de Dantzig Calcul beaucoup plus vite d'un bon voisin

On considère d'abord le cas où (0,0, ... ,0) est une solution de base réalisable et l'algorithme part de là:

On va supprimer une seule des équations x_j=0; donc cette variable x_j va devenir positive et les autres resteront nulles. Donc, il faut choisir une variable à coefficient positif en z.

En choisir une (peut-être mais pas forcément celle au coefficient le plus élevé?)

Chaque contrainte avec un coefficient a_i,j > 0 donne une borne supérieure sur la nouvelle valeur de x_i;

Choisir la plus petite de ces bornes; c'est la contrainte qu'il faut rajouter.

Efficacité améliorée

Une manipulation simple algébrique (le pivotage) remet le programme dans une forme où la nouvelle solution de base est (0,0, ... ,0) pour un choix différent de variables, ce qui permet de continuer de la même façon.

Deux Problèmes avec l'algorithme du simplexe

Pourquoi ne pas jeter les contraintes inutiles?
Trop difficile de les trouver!

Un programme robuste doit être capable de traiter ce cas.

Et une règle simple suffit: à chaque choix (colonne ou ligne du pivot), choisir la première variable possible pour sortir ou entrer.

• Modifier le problème de sorte que le nouveau problème auxiliaire aie une solution de base triviale et une solution optimale du nouveau problème soit forcément une solution réalisable (de base) de l'ancien ;
• Résoudre ce nouveau problème par
  l'algorithme du simplexe !
• Enfin commencer a résoudre le vrai problème.

• Pour construire le nouveau problème:

  • Ajouter une nouvelle variable, disons y (avec y ≥ 0)
  • Remplacer toute contrainte lin  ≤  const par lin-y ≤  const (et transformer dans la forme canonique)
  • Il existe une solution réalisable de base avec n+1 équations vérifiées
  • Minimiser y (maximiser -y) ; si le résultat est nul, on a trouvé une solution réalisable de base de l'ancien problème ; sinon il n'y en a pas.