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PROGRAMMATION
LINEAIRE

(sujet des 5 prochaines semaines)

Maximiser (ou minimiser) une valeur qui dépend de plusieurs variables étant donné des contraintes sur ces variables

Quelques exemples:

Définition générale

Un ensemble de variables: x1, x2, ...  xn

Une fonction objective linéaire à maximiser (ou minimiser):
z =  n

j=1 
cjxj

Un ensemble de contraintes linéaires: il suffit de considérer des contraintes avec la partie droite une constante: Ai,jxj     bi

(Chaque i donne une contrainte; par convention  i   m)
on écrit aussi maximiser cx avec Ax   b
chaque contrainte correspond à une ligne de la matrice A

Forme canonique

Quelques définitions et cas spéciaux

Exemple de solution sans borne

-4x1+1x2   -10

1x1-2x2   -30
maximiser z = 5x1-2x2

parmi les solutions sont: (10,20), (100,200), (1000,2000)... avec valeurs de z: 10, 100, 1000 et ainsi de suite.

Exemple de plusieurs solutions optimales

1x1+1x2   10

2x1+3x2   24

1x1+5x2   18
maximiser z=3x1+3x2

parmi les solutions sont: (10,0), (8,2) avec valeur de z: 30.

S'il existe 2 solutions optimales, il en existe un nombre infini:
par exemple (9,1), (9.5,0.5)

Exemple sans aucune solution réalisable

1x1+1x2   20

-1x1-3x2   -50

-1x1+1x2   5

(En effet, on voit que la somme des deux dernières contraintes divisée par 2 est -x1-x2   -22.5 en contradiction avec la première.

Interprétation géométrique

Solutions de base

Une solution donnée par la solution de n des équations correspondant aux contraintes
(c'est-à-dire les équations obtenues en remplacant par =)
(à noter que si les n équations ne sont pas indépendantes la solution n'existe pas et elles ne donnent pas de solution de base)

ou Un sommet du polytope

théorème : si la fonction objective est bornée, elle prend sa valeur optimale à une solution de base

Donc un algorithme possible

Mais  ca serait très très lent ...

Limitations

sur ce qu'on peut exprimer en PL (forme standard et canonique):

Il existe des types de contraintes réelles qu'on ne peut pas exprimer (directement) par des contraintes linéaires.

Les problèmes qui ne sont pas en forme standard canonique (variables négatives, contraintes ou =) sont facilement réformulés.




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On 22 Oct 2009, 11:38.