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La Théorie des Jeux

Le type de situations considérées

Applications

Et encore

Les jeux "Somme nulle" et autres Souvent (jeux de hasard où un joueur gagne de l'argent des autres), pour n'importe quelle combinaison de stratégies, la somme des valeurs de tous les joueurs est toujours nulle.

Dan le cas particulier d'un tel jeu ßomme nulle" entre deux joueurs, il suffit une matrice pour décrire le jeu parce que la seconde matrice n'est que la négation de la première.

Tout jeu de n joueurs peut être transformé en jeu somme nulle de n+1 joueurs, en ajoutant un nouveau joueur numéro n+1, dont la stratégie n'influence pas la valeur du jeu pour les autres et dont la valeur est toujours
-(somme des valeurs des autres joueurs)

On veut trouver (calculer) la stratégie optimale C'est quoi la (une) stratégie optimale?

Pas une stratégie qui gagne contre toute stratégie des autres (probablement une telle stratégie n'existe pas).

Pas une stratégie qui gagne en moyenne contre des autres qui jouent aléatoirement (ils sont aussi intelligents et veulent gagner).

La nature d'une solution On suppose que tous les joueurs sont intelligents et capable des décider leur stratégie optimale.

Et que chacun sait que tous les autres sont capables, etc. à l'infini !

Conclusion : chacun peut aussi décider quelle est la stratégie optimale de chaque autre !

Donc, chacun joue la stratégie qui lui donnerait la meilleur valeur du jeu si tous les autres font pareil.

Définition circulaire de la stratégie optimale ?

Equilibre

Toute combinaison de stratégies optimales, une pour chaque joueur, possède la propriété d'équilibre : si un joueur change sa stratégie, sa valeur du jeu va diminuer (ou peut-être rester inchangée).

Au lieu de chercher une stratégie optimale, on va chercher n stratégies öptimales" qui possèdent cette propriété d'équilibre.

Nous allons voir que chaque jeu possède un tel point d'équilibre; mais seulement quand nous avons généralisé un peu l'idée d'une stratégie.

Trouver une solution 1:
Domination et élimination

Une stratégie A domine B si, pour toute stratégie des opposants, sa valeur est supérieure (ou égale).

Dans le jeu des dés, la stratégie timide est dominée par S4.

On peut éliminer les stratégies dominées et leurs lignes et colonnes des matrices.

Et peut-être maintenant d'autres seront dominées etc.

Ce processus peut amener à une situation où chaque joueur n'a qu'une seule stratégie; ces stratégies donnent forcément un point d'equilibre.

Trouver une solution 2: Les Points ``Selle'' ou MinMax

Dans un jeu somme nulle à deux joueurs
Un point d'équilibre est forcément une selle (de la forme d'une selle de cheval ou une selle en montagne).

(Du point de vue d'un joueur), si lui change sa stratégie, la valeur du jeu diminue;

Donc, tous les points d'équilibre ont la même valeur.

Calcul de la stratégie optimale dans le jeu des dés

Calcul de la matrice des valeurs.

(
0
-80
-45
-20
-5
80
0
-40
-40
0
45
40
0
-25
-10
20
40
25
0
-10
5
0
10
10
0
)

La stratégie S4 est la meilleure (parmi les 5 permises)

Une Difficulté : Plusieurs équilibres possibles

Un exemple:

Une deuxième difficulté : Aucun équilibre possible

Peut produire une guerre continue de réductions et augmentations des prix!

(Le jeu des dés peut être pareil si on permet la stratégie de Bluffer, miser 20 sur 1 et 4. Bluffer bat S4 mais S1 bat Bluffer.)

Une troisième difficulté

l'équilibre n'est pas optimal

Le dilemme des prisonniers

Avouer est la stratégie dominante.

Mais le résultat est que les deux ont une sentence de 5 ans au lieu de 6 mois.




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On 7 Oct 2009, 13:16.