1. maximiser 1000x_{1} + 700x_{2} + 400x_{3} + 200x_{4} sous les contraintes (1) x_{1} ≥ 0 (2) x_{2} ≥ 0 (3) x_{3} ≥ 0 (4) x_{4} ≥ 0 (5) x_{1} ≤ 40 (6) 1.5x_{1} + 1.5x_{2} + 1.5x_{3} + 1.5x_{4} ≤ 420 (7) 1.5x_{1} + 0.75x_{2} + 0.375x_{3} ≤ 120

2. Oui réalisable; oui, de base (intersections des 4 équations correspondant aux contraintes (1), (2), (3) et (4)).

3. Oui réalisable; oui, de base (intersections des 4 équations correspondant aux contraintes (3), (5), (6) et (7)).

4. (Les lettres A à M montrent les solutions de base réalisables)

A Equations 1, 2, 3 et 4: x= [0, 0, 0, 0] z = 0 B Equations 1, 2, 3 et 6: x= [0, 0, 0, 280] z = 56000 C Equations 1, 2, 4 et 6: x= [0, 0, 280, 0] z = 112000

Equations 1, 2, 4 et 7: x= [0, 0, 320, 0] non-réalisable Equations 1, 2, 6 et 7: x= [0, 0, 320, −40] non-réalisable Equations 1, 3, 4 et 6: x= [0, 280, 0, 0] non-réalisable

D Equations 1, 3, 4 et 7: x= [0, 160, 0, 0] z = 112000 E Equations 1, 3, 6 et 7: x= [0, 160, 0, 120] z = 136000 F Equations 1, 4, 6 et 7: x= [0, 40, 240, 0] z = 124000 G Equations 2, 3, 4 et 5: x= [40, 0, 0, 0] z = 40000

Equations 2, 3, 4 et 6: x= [280, 0, 0, 0] non-réalisable Equations 2, 3, 4 et 7: x= [80, 0, 0, 0] non-réalisable

H Equations 2, 3, 5 et 6: x= [40, 0, 0, 240] z = 88000 Equations 2, 3, 6 et 7: x= [80, 0, 0, 200] non-réalisable Equations 2, 4, 5 et 6: x= [40, 0, 240, 0] non-réalisable

I Equations 2, 4, 5 et 7: x= [40, 0, 160, 0] z = 104000 J Equations 2, 4, 6 et 7: x= [13.33, 0, 266.66, 0] z = 120000 K Equations 2, 5, 6 et 7: x= [40, 0, 160, 80] z = 120000

Equations 3, 4, 5 et 6: x= [40, 240, 0, 0] non-réalisable L Equations 3, 4, 5 et 7: x= [40, 80, 0, 0] z = 116000

Equations 3, 4, 6 et 7: x= [−120, 400, 0, 0] non-réalisable M Equations 3, 5, 6 et 7: x= [40, 80, 0, 160] z = 128000

Equations 4, 5, 6 et 7: x= [40, −80, 320, 0] non-réalisable

5.

• les sommets: A à M.

• les arêtes:

(Par exemple les sommets A et B ont les équations 1, 2 et 3 en commun ; donc la droite définie par ces trois équations passe par ces deux points et doit être une arête du polytope.) A–B, A–C, A–D, A–G, B–C, B–E, B–H, C–F, C–J, D–E, D–F, D–L, E–F, E–M, F–J, G–H, G–I, G–L, H–K, H–M, I–J, I–K, I–L, J–K, K–M, L–M.

• les faces:

Une partie d’un plan (donc des sommets avec deux équations en commun) entourée par un cycle des arêtes

par exemple : la partie du plan défini par les équations 1 et 2, délimitée par ABC 1 et 3 ABED 1 et 4 ACFD 1 et 6 BCFE 1 et 7 DEF 2 et 3 ABHG 2 et 4 ACJIG 2 et 5 GHKI 2 et 6 HKJCB 2 et 7 IJK 3 et 4 ADLG 3 et 5 GHML 3 et 6 BHME 3 et 7 DEML 4 et 5 GIL 4 et 6 CFJ 4 et 7 DFJIL 5 et 6 HMK 5 et 7 IKML 6 et 7 EFJKM

• les hyperfaces: La partie de l’espace défini par l’équation 1, délimitée par les faces ABED, ACFD, BCFE et DEF. et ainsi de suite.