MIAGE
Master 1:
Recherche Opérationnelle I
TD(3): le 14/10/2009

1. Dans les jeux des dés expliquer pourquoi les stratégies ignorées (celles qui misent 5 sur la plus grande valeur du dé) sont forcément dominées (par quelle autre stratégie?)
   Réponse
   Mettons f pour le nombre de faces du dé (numérotées 1…f). Une stratégie X qui mise m₁, m₂, …  m_f-1 sur des dés de valeur 1, 2, …f-1 et 5 sur f est forcément dominée par la stratégie Y qui mise m₁, m₂, …  m_f-1 sur des dés de valeur 1, 2, …f-1 et 20 sur f.
   Preuve
   On considère une stratégie Z; il faut démontrer que Y contre Z gagne plus que X contre Z. Le gain dépend des deux dés, mettons d₁ pour le dé du premier joueur (jouant X ou Y) et d₂ pour celui de l'autre (jouant Z).

   • Si d₁ < f; X et Y mise la même somme; leurs gains sont identiques.
   • Si d₁=f et d₂ < f;

     • Si Z mise 5; X gagne 5 (même mise et meilleur dé) et Y aussi gagne 5 (mise de 20); gains identiques.
     • Si Z mise 20; X perd 5 et Y gagne 20 (même mise et meilleur dé).
     Y gagne au moins la même somme que X.
   • Si d₁=f et d₂=f;

     • Si Z mise 5; X gagne 0 mais Y gagne 5.
     • Si Z mise 20; X perd 5 mais Y gagne 0.
     Le gain de Y est toujours strictement supérieur à celui de X.
   Il n'y a pas de cas où Y fait pire que X et au moins un cas où Y fait mieux. Donc, en moyenne, le gain de Y est strictement supérieur à celui de X. CQFD

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On 16 Oct 2009, 12:02.