MIAGE Master 1: Recherche Opérationnelle I TD(3): le 14/10/2009

1. Dans les jeux des dés expliquer pourquoi les stratégies ignorées (celles qui misent 5 sur la plus grande valeur du dé) sont forcément dominées (par quelle autre stratégie?) Réponse Mettons f pour le nombre de faces du dé (numérotées 1 ⋯ f). Une stratégie X qui mise m_{1}, m_{2}, ⋯ m_{f−1} sur des dés de valeur 1, 2, ⋯ f − 1 et 5 sur f est forcément dominée par la stratégie Y qui mise m_{1}, m_{2}, ⋯ m_{f−1} sur des dés de valeur 1, 2, ⋯ f − 1 et 20 sur f. Preuve On considère une stratégie Z; il faut démontrer que Y contre Z gagne plus que X contre Z. Le gain dépend des deux dés, mettons d_{1} pour le dé du premier joueur (jouant X ou Y) et d_{2} pour celui de l’autre (jouant Z).

• Si d_{1} < f; X et Y mise la même somme; leurs gains sont identiques.

• Si d_{1} = f et d_{2} < f;

– Si Z mise 5; X gagne 5 (même mise et meilleur dé) et Y aussi gagne 5 (mise de 20); gains identiques.

– Si Z mise 20; X perd 5 et Y gagne 20 (même mise et meilleur dé).

Y gagne au moins la même somme que X.

• Si d_{1} = f et d_{2} = f; – Si Z mise 5; X gagne 0 mais Y gagne 5.

– Si Z mise 20; X perd 5 mais Y gagne 0.

Le gain de Y est toujours strictement supérieur à celui de X.

Il n’y a pas de cas où Y fait pire que X et au moins un cas où Y fait mieux. Donc, en moyenne, le gain de Y est strictement supérieur à celui de X. CQFD