Réponse {6,7} classe finale
{1,2,3,9} classe finale
{5} classe de passage
{4,8,10} classe de passage

Réponse Période 4
{2,10},  {6,7,8,9},  {3,13,14,15}, {11,12}

On considère la chaîne de la compagnie de livraison décrite dans le cours:

1. Compléter la matrice de probabilités de transition:
   (

   a0	a1	a2	a3	a4
   a0(b1+b2+b3+b4)	a0b0+a1(b1+b2+b3+b4)	a1b0+a2(b1+b2+b3+b4)	a2b0+(a3+a4)(b1+b2+b3+b4)	(a3+a4)b0
   a0(b2+b3+b4)	a0b1+a1(b2+b3+b4)	a0b0+a1b1+(a2+a3+a4)(b2+b3+b4)	a1b0+(a2+a3+a4)b1	(a2+a3+a4)b0
   a0(b3+b4)	a0b2+(a1+a2+a3+a4)(b3+b4)	a0b1+(a1+a2+a3+a4)b2	a0b0+(a1+a2+a3+a4)b1	(a1+a2+a3+a4)b0
   b4	b3	b2	b1	b0

   )
2. Vérifier que la somme de chaque ligne est égale à 1.
   Manipulation simple en utilisant a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=1 et b₀+b₁+b₂+b₃+b₄=1.
3. Calculer les valeurs numériques de la matrice si
   a₀=0.1,  a₁=0.2,  a₂=0.3,  a₃=0.3,  a₄=0.1
   b₀=0.1,  b₁=0.1,  b₂=0.4,  b₃=0.2,  b₄=0.2
   (

   0.1	0.2	0.3	0.3	0.1
   .09	0.19	0.29	0.39	0.04
   0.08	0.17	0.59	0.09	0.07
   0.04	0.4	0.37	0.1	0.09
   0.2	0.2	0.4	0.1	0.1

   )
4. Quelle est la probabilité de changer de l'état 2 à l'état 3 en deux transitions ?
   (Ici je numérote les états selon le nombre de camions à Bordeaux, c'est-à-dire de 0 à 4.)

   0.08*0.3+0.17*0.39+0.59*0.09+0.09*0.1+0.07*0.1 = 0.1594

5. Ecrire un programme pour calculer P⁽²⁾
   

   main()
   { float P[5][5], temp[5][5],s;
           int i,j,k,m;
           P[0][0]=0.1;P[0][1]=0.2;P[0][2]=0.3;P[0][3]=0.3;P[0][4]=0.1;
           P[1][0]=0.09;P[1][1]=0.19;P[1][2]=0.29;P[1][3]=0.39;P[1][4]=0.04;
           P[2][0]=0.08;P[2][1]=0.17;P[2][2]=0.59;P[2][3]=0.09;P[2][4]=0.07;
           P[3][0]=0.04;P[3][1]=0.4;P[3][2]=0.37;P[3][3]=0.1;P[3][4]=0.09;
           P[4][0]=0.2;P[4][1]=0.2;P[4][2]=0.4;P[4][3]=0.1;P[4][4]=0.1;
   
           for (i=0;i<5;i++)
                   for(j=0;j<5;j++)
                   {s=0;
                           for (k=0;k<5;k++) s+= P[i][k]*P[k][j];
                           temp[i][j]=s;
                   }
           for (i=0;i<5;i++)
           {
                   for(j=0;j<5;j++) printf("%f   ",temp[i][j]);
                   printf("\n");
           }
   }
   
   0.084000   0.249000   0.416000   0.175000   0.076000   
   0.072900   0.267400   0.413500   0.170200   0.076000   
   0.088100   0.198600   0.482700   0.159400   0.071200   
   0.091600   0.204900   0.419300   0.220300   0.063900   
   0.094000   0.206000   0.431000   0.194000   0.075000
   
   

6. Modifier votre programme afin de calculer P⁽¹²⁸⁾

   main()
   { float P[5][5], temp[5][5],s;
           int i,j,k,m;
           P[0][0]=0.1;P[0][1]=0.2;P[0][2]=0.3;P[0][3]=0.3;P[0][4]=0.1;
           P[1][0]=0.09;P[1][1]=0.19;P[1][2]=0.29;P[1][3]=0.39;P[1][4]=0.04;
           P[2][0]=0.08;P[2][1]=0.17;P[2][2]=0.59;P[2][3]=0.09;P[2][4]=0.07;
           P[3][0]=0.04;P[3][1]=0.4;P[3][2]=0.37;P[3][3]=0.1;P[3][4]=0.09;
           P[4][0]=0.2;P[4][1]=0.2;P[4][2]=0.4;P[4][3]=0.1;P[4][4]=0.1;
   
           for (m=1;m!=128;m*=2)
           {
           for (i=0;i<5;i++)
                   for(j=0;j<5;j++)
                   {s=0;
                           for (k=0;k<5;k++) s+= P[i][k]*P[k][j];
                           temp[i][j]=s;
                   }
           for (i=0;i<5;i++)
                   for(j=0;j<5;j++)
                           P[i][j]=temp[i][j];
           }
           for (i=0;i<5;i++)
           {
                   for(j=0;j<5;j++) printf("%f   ",temp[i][j]);
                   printf("\n");
           }
   }
   
   0.085451   0.219660   0.446916   0.176322   0.071650   
   0.085451   0.219660   0.446916   0.176322   0.071650   
   0.085451   0.219660   0.446916   0.176322   0.071650   
   0.085451   0.219660   0.446916   0.176322   0.071650   
   0.085451   0.219660   0.446916   0.176322   0.071650 
   
   

7. Que remarquez-vous dans la matrice P⁽¹²⁸⁾ ?
   Toutes les lignes sont pareilles.
   (La distribution limite)