INTRODUCTION
Matières: techniques mathématiques de décision;
Les Chaînes de Markov
(3 prochaines semaines de cours)
Exemple: jouer au Pile ou Face
D'abord j'ai 3 euros et mon opposant a aussi 3 euros
A chaque tour j'ai une probabilité p de gagner un euro et
une probabilité 1-p de perdre un euro mais un joueur sans argent
ne peut plus miser
L'``état'' du système est combien d'argent j'ai (0,1,2,3,4,5 ou 6)
Les transitions possibles sont:
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Les propriétés générales
Transitions à des moments de temps discrets
Probabilité de transition de l'état i à l'état j (à moment t) ne dépend pas de l'histoire (c-à-d des états antérieurs)
Ici on ne considère que les chaînes finies (nombre d'états fini) et homogènes (probabilité de transition d'état i à l'état j ne dépend pas de t).
Un deuxième exemple: Une petite compagnie de livraison de colis
On veut savoir, par exemple, le pourcentage des demandes qui échouent (faute d'assez de camions dans la ville de la demande).
On suppose bi la probabilité chaque jour d'une demande totale qui nécessite exactement i camions de Bordeaux à Paris et ai la même probabilité dans la direction inverse.
Et on suppose que les demandes dans les 2 villes sont indépendantes.
Il y a 5 états selon le nombre de camions dans les 2 villes (la nuit).
La probabilité d'une transition d'un état à un autre:
de (0,4) à (0,4): a0
de (0,4) à (1,3): a1
de (1,3) à (0,4): a0(b1+b2+b3+b4)
de (1,3) à (1,3): a0b0 + a1(b1+b2+b3+b4)
etc.
Les matrices de transitions
Une matrice vérifiant les deux propriétés évidentes: Pi,j ≥ 0 pour tout i,j et ∑j Pi,j = 1 est une
On note P(m)i,j la probabilité d'une transition de l'état i à l'état j dans m transitions et P(m) la matrice de ces probabilités.
Classification des états
Dans le jeu de Pile ou Face 0 et 6 sont des états persistants; les autres
sont transitoires.
Dans le système des camions ça dépend des probabilités:
si a0=b0=0 et les autres probabilités sont non-nulles,
0 et 4 sont des états transitoires et tous les autres sont
persistants..
On parle aussi des états ergodiques, c'est-à-dire ceux pour lesquels le temps moyen du premier retour à l'état i après être arrivé une fois en i est fini. Pour les chaînes finies il n'y a pas de différence entre persistant et ergodique.
Un état i est périodique avec période λ si chaque cycle de i à i comporte un nombre de transitions qui est un multiple de λ (et λ est l'entier maximum (supérieur à 1) avec cette propriété), c'est-à-dire le plus grand diviseur commun des longueurs de tous les cycles qui contiennent i.
Le graphe de transitions
Les chemins dans ce graphe correspondent aux transitions possibles en plusieurs étapes (ou 1 ou 0).
Important: les composants fortement connexes
(ensemble maximal de sommets tel qu'il existe un chemin de chacun à chaque autre)
Le système entrera (avec probabilité 1) dans un composant sans sortie
et ensuite devra y rester;
Les états d'un tel composant constituent une petite chaîne où tous les états
sont persistants (donc ergodiques)
S'il y a un seul composant fortement connexe la chaîne est irréductible
Tous les états d'un composant sont du même type: tous persistants
(une classe finale d'états) ou tous transitoires (une classe de passage);
Décomposition en chaînes simples
En ce cas,
on peut diviser les états en λ classes:
C0,C1,…Cλ-1,
de telle façon que chaque transition est d'une classe Ci à Ci+1
(ou de Cλ-1 à C0); les chemins de longueur λ donnent
une chaîne à l'intérieur de chaque Ci où tous les états sont
persistants et apériodiques.
L'étude du comportement du système a été réduite à deux questions:
l'étude des systèmes ergodiques et apériodiques; et la question de dans
quelle sous-chaîne on peut finir et avec quelle probabilité.