\documentclass{article}

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\newcommand{\heading}[1]{\begin{center}\Large \bf\color{red}
#1
\end{center}
}
\begin{document}
\large
\heading{MIAGE\\
Master 1:\\  Recherche Op\'erationnelle I\\
TD3: le 24/09/2008\\
}

\begin{enumerate}
\item
Construire la matrice de probabilités de transition d'une chaîne de Markov
qui modélise la situation suivante:

\begin{enumerate}
\item Vous êtes propriétaire d'une station de service à une intersection où
il y a  deux autres stations. Chaque propriétaire doit choisir son prix pour
la semaine au début de la semaine sans savoir quels seront les prix des deux
autres.
Le prix peut être {\it élevé} (marge de 16\% sur la valeur brute) ou
{\it bas} (10\%). Dans tous les cas la quantité totale de carburant vendue
pendant la semaine par les trois stations
sera d'une valeur brute de 10000 euros.
\item Si toutes les stations ont le même prix, le marché sera partagé également
entre les trois ; si une seule station a un prix élevé les parts seront $20 : 40 : 40$ ;
si deux ont des prix élevés ils seront $25 : 25 : 50$. 
\item Vous avez remarqué le comportement suivant des deux autres propriétaires :
chacun décide de changer ou non son prix selon les trois prix pratiqués la
semaine précédente
\begin{itemize}

\item  si son prix était le même que les deux autres il le change
avec probabilité $5$\% ; 
\item s'il était différent des deux autres il le change
avec probabilité $50$\% ; 
\item sinon (les deux autres n'ont pas le même prix) il le change
avec probabilité $20$\%.
\end{itemize}
\item Les décisions des deux autre sont indépendantes.
\item Vous pouvez choisir pour vous-même votre politique de prix. Soyez raisonnable !
\end{enumerate}

\item
Testez que votre chaîne aie une seule classe finale. Si oui, trouvez sa distribution
limite et vos bénéfices moyennes par semaine. Comparez vos résultats avec vos voisins.

\item
Trouvez la politique optimale par la méthode décrite en cours, en utilisant actualisation avec un taux de $0.99$.
\end{enumerate}


\end{document}
