Programmation Linéaire en Nombres Entiers
(PLNE)
- Toutes les variables sont obligées de prendre des valeurs entières
- En général les coefficients ai,j sont aussi entiers
- Et, donc, on peut se limiter à des constantes bj entières
- Si, les variables sont aussi contraintes d'être entre
0
et 1, elles n'ont que les deux valeurs possibles 0
et 1 et on parle de PL en 0-1
Maintenant on peut exprimer des contraintes telles
x1 > = 1 ou x2 > = 1
par la contrainte x1+x2 > = 1
parce que des ``solutions'' comme x1=x2=0.5 sont
interdites.
Le PL ordinaire avec les mêmes variables, contraintes et fonction
objective s'appelle le PL relaxé du PLNE.
Sa solution optimale donne une borne (majorant pour un problème
de maximisation) sur la solution optimale du PLNE.
(Mais la solution optimale du PLNE peut être très différente
ou même ne pas exister.)
Aspects Théoriques
- Chercher une solution réalisable du PLNE équivaut à chercher un point
dans
le polytope de solutions réalisables avec tous ses coordonnés
entiers
- Si le polytope est long et étroit il n'est pas évident
qu'il contient de tels points
- Décider si un PLNE possède des solutions réalisables
est un exemple d'un problème NP-complet
une classe de problèmes pour lesquels personne ne sait s'il existe
ou non un algorithme efficace (opérant en temps polynomial)
- Les meilleurs algorithmes connus sont capables de traiter
des programmes avec quelques dizaines de variables
(par comparaison, on peut traiter des PL de plusieurs milliers de variables)
- Méthodes heuristiques
Des cas où les deux programmes sont équivalents
- Pour quelques types de PL, on sait que (s'il existe une solution
optimale,) il existe une solution optimale entière
- Donc, le PLNE et le PL ont la même valeur optimale
et c'est beaucoup plus vite de résoudre le PL
- Essentiellement des problèmes sur des réseaux
- Des programmes où chaque variable est présente dans
deux contraintes au maximum
- Et avec des coefficients de ±1
Les Méthodes de ``Séparation et Evaluation''
- On choisit une variable qui a une fourchette de valeurs
possibles,
disons [min,max]
- On construit deux nouveaux problèmes, un avec
[min,mid], et l'autre avec [mid+1,max]
séparation
- On utilise la borne sur chaque problème fournie par
son programme relaxé
évaluation
- Si cette borne est inférieure (pour un problème de
maximisation) à une solution déjà trouvée, terminer cette
branche
- Et bien sûr teminer la branche si le programme relaxé
n'est pas faisable
- Sinon continuer
A chaque moment il y a un arbre de problèmes à résoudre et la
solution
optimale est ou la meilleure solution déjà trouvée ou la
meilleure
de celles des problèmes contenus dans l'arbre
La Méthode de Dakin pour le PLNE général
- Parcourir l'arbre en profondeur (ce qui a une bonne
chance de produire une solution réalisable assez vite)
- Choisir à chaque itération le problème
possédant
la meilleure solution de son programme relaxé
- Séparer sur une variable dont la valeur (dans
la solution optimale du programme relaxé) est la plus
proche d'un entier
- mid est cette valeur (arrondie)
La Méthode de Balas pour les PLNE en 0-1
- Considérer les cas où z (à minimiser)
n'a pas de coefficients
négatifs (pas de restriction; tout programme peut être exprimé
de cette façon)
- Ici séparation consiste à fixer une variable soit à
0
soit à 1
- Ce qui permet à simplifier énormément les sous-problèmes
- Si un problème n'a pas de bj négatif, on a déjà
une solution réalisable (en fixant toutes les variables restant
à 0) et c'est la solution optimale de ce (sous-)problème
- Parcourir l'arbre en largeur
- Plusieurs règles d'élagage permettent de savoir qu'un
problème donné est infaisable ou ne peut donner une solution
meilleure d'une solution déjà trouvée.
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On 13 Nov 2006, 10:46.