• Affectation Réseau trivial? ensemble de sources (disponibilité =1) et de puits (demande =1) et où chaque arc est d'une source à un puits
• Transport Demandes, disponibilités (et capacités des arcs) peuvent être supérieures à 1 mais toujours chaque arc est d'une source à un puits
• Transbordement Réseau général avec capacités infinies
• Flot maximum Réseau général avec capacités finies
• Flot de coût minimum Réseau général avec capacités finies et coûts différents sur les arcs

Donc à un sommet où il y a flux nul, les équations x_i=0 et celle de conservation sont vérifiées;
mais la dernière est conséquence des autres!

Basé sur l'idée d'une chaîne augmentante: une suite de changements possibles ±α dans une chaîne d'arcs dont le résultat est de transférer quantité α de la source à un autre sommet.

NB: l'augmentation dans une chaîne augmentante peut diminuer le flux dans certains arcs!

Facile de trouver des chaînes augmentantes dans un arbre enraciné à la source

Si on trouve une chaîne augmentante au puits, on peut augmenter le flot actuel (initialisé à 0)
par le minimum des changements possibles sur les arcs de la chaîne

Sinon on a trouvé un flot maximum.

Chaque itération (sauf la dernière) augmente le flot

Donc le nombre d'itérations est borné par le flot maximum trouvé (+1), donc par la somme des capacités des arcs sortant de la source (ou entrant dans le puits)

Donc temps total raisonnable si les capacités sont petites
Un algorithme pseudo-polynomial

Peut être pire que le simplexe quand les capacités sont élevées.

Il existe des algorithmes plus complexes qui évitent ce défaut en cherchant la bonne chaîne augmentante à chaque itération. ...

...?

Non. Il peut trouver un flot maximum qui n'est pas une solution de base du PL.

(Considérer un réseau ne possédant que deux chemins source - X de capacités 1 chacun et deux chemins X - puits de capacité 2.)

Pour l'itération d, il construit un nouveau graphe qui est une copie partielle de celui du réseau mais qui ne contient que les arcs susceptibles d'être inclus dans une chaîne augmentante de longueur d

Il utilise ce graphe pour chercher une chaîne augmentante de longueur d (et termine cette itération s'il n'y en a pas)

Après chaque augmentation, il découpe du graphe tout arc dont le flux vient d'être réduit à nul ou augmenté à sa capacité
(et aussi tout autre arc qui n'est plus utile pour construire des chaînes augmentantes).

Equivaut, grosso modo à Ford et Fulkerson, mais avec recherche en largeur pour une chaîne augmentante au lieu de recherche en profondeur.

Complexité O(m²n) (ou O(mn²) avec des idées de Dinic) pour un graphe de n sommets et m arêtes.

• Construire un flot partiel où chaque sommet sauf la source transmet au maximum ce qu'il reçoit
• si possible d'étendre ce flot, faites-le
• sinon faire reculer ce qui est arrivé à un sommet et ne peut pas être transmis
• basé sur l'idée de hauteur : le flot est toujours du haut vers le bas; pour modifier le flot, il faut incrémenter la hauteur
• complexité O(n³) (si la recherche du prochain sommet à traiter est bien gérée).

A chaque itération construire un graphe R qui dépend du flot actuel f et le graphe du réseau G: si G a un arc (x,y) avec coût c,

• si (x,y) n'est pas saturé, R a un arc (x,y) valué à c
• si (x,y) a un flux non nul, R a un arc (y,x) valué à -c

On cherche un chemin de la source au puits avec une valeur minimum
s'il existe, on augmente le flot selon la chaîne augmentante correspondant
sinon l'algorithme termine.

Cette recherche est effectuée par un algorithme bien connu de recherche du plus court chemin entre deux sommets (seule complication ici, arcs de ``distance'' négative mais c'est pas grave)

La raison pour laquelle cet algorithme réussit est plus compliquée, en particulier, si on commencait d'un flot aléatoire, il ne serait pas garanti qu'on arrive á un flot optimal;
mais, en commençant au flot nul, oui.

Equivaut à Ford-Fulkerson avec choix de la chaîne augmentante de coût minimum.