Le dual d’un programme

linéaire

Motivation

Une solution réalisable d’un programme (de maximisation) donne un z possible, donc un minorant du z optimal.

Je peux aussi déduire des majorants de z par manipulation directe des inéquations:

10 10 20 50 0 40 25 x <=  100
50 60 40 0 0 0 15  100
30 50 40 5 5 20 10  100
0 0 0 0 50 30 0  100

Si je calcule 2/5× (1) + 2/3× (2), j’obtiens 37.33x_{1} +44x_{2} +34.67x_{3} +20x_{4} +16x_{6} +20x_{7} <= 106.67 Donc z = 30x_{1} + 40x_{2} + 30x_{3} + 10x_{4} + 15x_{6} + 20x_{7} <= 106.67

Quel est le meilleur majorant que je peux trouver de cette façon?

Le problème de base: maximiser n ; ∑ ; j=1 c_{j}x_{j}

avec m contraintes n ; ∑ ; j=1 a_{i,j}x_{j} <= b_{i}

et x_{j} >= 0

En essayant de trouver un majorant de la solution, j’ai cherché des multiplicateurs y_{i} pour les contraintes avec les propriétés: y_{i} >= 0

m ; ∑ ; i=1 a_{i,j}y_{i} >= c_{j}

Et je veux trouver un ensemble de tels multiplicateurs qui me donne la valeur la plus petite

possible de m ; ∑ ; i=1 b_{i}y_{i}.

Un nouveau programme linéaire! appelé le dual.

Propriété évidente: chaque solution réalisable du dual est supérieure ou égale à chaque solution réalisable du problème de base.

Le dual du dual

Le dual, à savoir minimiser m ; ∑ ; i=1 b_{i}y_{i} avec les

contraintes m ; ∑ ; i=1 a_{i,j}y_{i} >= c_{j} équivaut à max-

imiser m ; ∑ ; i=1 −b_{i}y_{i} avec les contraintes m ; ∑ ; i=1 −a_{i,j}y_{i} <=

−c_{j}. (pour l’exprimer en forme canonique)

On a multiplié les deux vecteurs b et c et la matrice a par −1, échangé les 2 vecteurs et transposé la matrice.

Donc, si on le fait une deuxième fois pour obtenir le dual du dual, on trouve le problème de base.

Les deux problèmes ont la

même solution!

(c’est-à-dire la même valeur

optimale de la fonction

objective)

Le théorème le plus important de la programmation linéaire.

Démonstration compliquée.

Mais, il n’est pas difficile de voir que l’algorithme du simplexe calcule (dans le cas d’un programme faisable et borné) une valeur qui est une solution réalisable des deux problèmes; En effet, à la fin de l’exécution de l’algorithme, la dernière ligne contient sa valeur initiale (la fonction objective) moins une somme de multiples des autres lignes; mettons m_{j} pour le multiple de la ligne j. En regardant les valeurs finales dans cette dernière ligne, on trouve

• (colonne de la j-ième variable d’écart) −m_{j}; donc on a m_{j} >= 0 par la condition d’arrêt de l’algorithme,

• (colonne de la j-ième variable du programme de départ) c_{j} − ∑ a_{i,j}m_{j}; donc ∑ a_{i,j}m_{j} >= c_{j} (par la même condition)

• (colonne des constantes) ∑ −c_{j}m_{j}; donc la solution trouvée pour le programme de départ était ∑ c_{j}m_{j}.

C’est-á-dire que les m_{j} constituent une solution réalisable du programme dual et avec la même valeur de sa fonction objective que la solution trouvée du programme de départ. donc, forcément la solution optimale des deux.

Cas dégénérés possibles

On a vu que si l’un des deux programmes a une solution optimale, c’est vrai aussi pour l’autre.

Il reste trois cas possibles ou ni l’un ni l’autre n’a pas de solution optimale:

• les deux programmes sont infaisables

• le primal est infaisable et le dual a des solutions sans borne

• le primal a des solutions sans borne et le dual est infaisable

L’interprétation économique

de la solution du dual

La solution du problème dual (c’est-à-dire les y_{i}) nous dit par combien la solution optimale (z) va changer si la contrainte (numéro i) est modifiée. (parce que la valeur trouvée pour z est ∑_{i} b_{i}y_{i})

Si z est mon profit, y_{i} est le maximum que je devrait payer (par unité) pour lâcher la contrainte (acheter plus d’une matière de base ...)

Un autre algorithme

Celui de Khachiyan (1979) a l’avantage d’être certain de terminer dans un temps polynomial (dans la taille des entrées ... ) dans tous les cas.

• Il suffit de pouvoir décider si un programme est faisable ou non (recherche dichotomique peut ensuite donner le résultat exact dans un nombre polynomial d’itérations)

• Toutes les solutions de base (et donc une solution réalisable s’il y en a, même si l’espace de solutions est infini) sont à l’intérieur d’une (hyper-)sphère de taille calculable (et pas trop grande)

• Considérer le point au centre de cette sphère • S’il est une solution réalisable, le programme

est faisable.

• Sinon, toute solution réalisable de base est à l’intérieur d’une hémisphère bornée par la moitié de la sphère et un plan parallel à la contrainte violée

• Trouver la plus petite ellisoïde qui contient cette hémisphère;

• Et appliquer une transformation linéaire qui transforme cette ellisoïde en une sphère !

Algorithme plutôt d’intérêt théorique mais qui a produit beaucoup de recherches pour d’autres nouvelles méthodes dont quelques unes qui conservent l’avantage théorique de celle de Khachiyan mais sont compétitifs avec le simplexe (méthodes des points intérieurs).