\begin{Exo}

\end{Exo}

\begin{Cor}~\\

\begin{enumerate}
\item 
\begin{equation*}
\begin{split}
d(f,g) & = |f| + |g| - 2|f \wedge g| \\
& = |f \wedge g| + |u_1| + |f \wedge g| + |u_2| - 2|f \wedge g| \\
& = |u_1| + |u_2|
\end{split}
\end{equation*}

\item
\begin{equation*}
\begin{split}
d(f,g) = 0 & \Longleftrightarrow  |u_1| + |u_2| = 0\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}|u_1|=0\\|u_2|=0\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow \begin{cases}f=f \wedge g\\g=f \wedge g \end{cases}\\
& \Longleftrightarrow f=g
\end{split}\qquad
\begin{split}
d(f,g) & = |f| + |g| - 2|f \wedge g| \\
& = d(g,f)
\end{split}
\end{equation*}

\item Nous montrons d'abord la propriété~:
\begin{equation*}
(f \wedge g = f \wedge h) \text{ ~ou bien~}
(f \wedge g = g \wedge h) \text{ ~ou bien~}
(f \wedge h = g \wedge h)
\end{equation*}

\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{cases}
f=(f\wedge g\wedge h)f_1f_2\text{~avec~} f_1\text{~une lettre}\\
g=(f\wedge g\wedge h)g_1g_2\text{~avec~} g_1\text{~une lettre}\\
h=(f\wedge g\wedge h)h_1h_2\text{~avec~} h_1\text{~une lettre}\\
\end{cases}
&\Longrightarrow 
f_1 \neq g_1 \text{ ~ou~}
f_1 \neq h_1 \text{ ~ou~}
g_1 \neq h_1\\
&\Longrightarrow
\text{ ~au plus deux parmies~} f_1, g_1, h_1 \text{ ~sont égales.}
\end{split}
\end{equation*}
Supposons $f_1=g_1$
\begin{equation*}
\begin{split}
f_1=g_1
&\Longrightarrow 
\begin{cases}
f_1 \neq h1\\
g_1 \neq h1
\end{cases}\\
&\Longrightarrow 
\begin{cases}
(f\wedge h) = (f\wedge g\wedge h)\\
(g\wedge h) = (f\wedge g\wedge h)
\end{cases}\\
\end{split}
\end{equation*}
Les deux autres cas se traitent de manière identique, ce qui démontre notre propriété.

Nous pouvons maintenant répondre à la question en étudiant les trois cas.
\begin{itemize}
\item\begin{equation*}
\begin{split}
(f \wedge g = f \wedge h)
&\Longrightarrow |f \wedge h| = |f \wedge g|\\
&\Longrightarrow |f \wedge h| + |g \wedge h| \leq |h| + |f \wedge g|
\end{split}
\end{equation*}

\item\begin{equation*}
\begin{split}
(f \wedge g = g \wedge h)
&\Longrightarrow |g \wedge h| = |f \wedge g|\\
&\Longrightarrow |f \wedge h| + |g \wedge h| \leq |h| + |f \wedge g|
\end{split}
\end{equation*}

\item\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{cases}
0 \leq d(h,f \wedge g)\\
f \wedge h = g \wedge h = f \wedge g \wedge h
\end{cases}
&\Longrightarrow
\begin{cases}
0 \leq |h| + |f \wedge g| -2 |f \wedge g \wedge h|\\
|g \wedge h| = |f \wedge g| = |f \wedge g \wedge h|
\end{cases}\\
&\Longrightarrow
\begin{cases}
2 |f \wedge g \wedge h| \leq |h| + |f \wedge g|\\
|g \wedge h| = |f \wedge g| = |f \wedge g \wedge h|
\end{cases}\\
&\Longrightarrow |f \wedge h| + |g \wedge h| \leq |h| + |f \wedge g|
\end{split}
\end{equation*}
\end{itemize}

\item
\begin{equation*}
\begin{split}
d(\alpha(f),\alpha(g))&=|\alpha(f)|+|\alpha(g)|-2|\alpha(f)\wedge\alpha(g)\\
& \leq |\alpha(f)|+|\alpha(g)|-2|\alpha(f \wedge g)|\\
& \leq (|\alpha(f)|-|\alpha(f \wedge g)|)+(|\alpha(g)|-|\alpha(f \wedge g)|)\\
& \leq |\alpha(u_1)|+|\alpha(u_2)|\\
& \leq M|u_1|+M|u_2|\\
& \leq M \times d(f,g)
\end{split}
\end{equation*}

\item
\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{cases}f \text{~tel que~} |f|=2n\\g=fa\end{cases}
&\Longrightarrow \begin{cases}\beta(f)=0^{|f|}\\\beta(g)=1^{|f|+1}\end{cases}\\
&\Longrightarrow \begin{cases}d(\beta(f),\beta(g))=2|f|+1\\d(f,g)=1\end{cases}\\
&\Longrightarrow d(\beta(f),\beta(g))= (4n+1)\times d(f,g)\\
&\Longrightarrow \forall M, \exists (f,g) \text{ ~tel que~} d(\beta(f),\beta(g) \geq M \times d(f,g)\\
&\Longrightarrow \beta \text{~n'est pas séquentielle.}
\end{split}
\end{equation*}

\item
\begin{equation*}
\begin{split}
d(\alpha(f),\alpha(g))&=|\alpha(f)|+|\alpha(g)|-2|\alpha(f)\wedge\alpha(g)\\
& \leq |\alpha(f)|+|\alpha(g)|-2|\alpha(f \wedge g)|\\
& \leq (|\alpha(f)|-|\alpha(f \wedge g)|)+(|\alpha(g)|-|\alpha(f \wedge g)|)\\
& \leq |\alpha(u_1)|+|\alpha(u_2)|\\
& \leq M|u_1|+N+M|u_2|+N\\
& \leq M \times d(f,g) +2N
\end{split}
\end{equation*}

\item
\begin{equation*}
\begin{split}
\begin{cases}f \text{~tel que~} |f|=2n\\g=fa\end{cases}
&\Longrightarrow \begin{cases}\beta(f)=0^{|f|}\\\beta(g)=1^{|f|+1}\end{cases}\\
&\Longrightarrow \begin{cases}d(\beta(f),\beta(g))=2|f|+1\\d(f,g)=1\end{cases}\\
&\Longrightarrow d(\beta(f),\beta(g))= (4n+1)\times d(f,g)\\
&\Longrightarrow \forall (M,N), \exists (f,g) \text{ ~tel que~} d(\beta(f),\beta(g) \geq M \times d(f,g) + 2N \\
&\Longrightarrow \beta \text{~n'est pas séquentielle avec marqueur.}
\end{split}
\end{equation*}

\end{enumerate}

\end{Cor}

