%\begin{Exo}
%\end{Exo}

\begin{Cor}\ \\

{\bf Question 1 :} 
Calcul des $R_i$ définis par~:

\[ \left\{ \begin{array}{lll}
R_0 & = & \{f / \exists u \in C, uf \in C\}\\
R_i & = & \{f / \exists u \in R_{i-1}, uf \in C\} \cup \{f / \exists u \in C, uf \in R_{i-1}\}
\end{array}\right.\]

\begin{equation*}
\begin{split}
C   & = \{001, 101, 00101, 0110, 1101, 1001, 00111\}\\
R_0 & = \{01, 11\}\\
R_1 & = \{10, 01\} \cup \{\}\\
R_2 & = \{1, 01, 10\} \cup \{\}\\
R_3 & = \{01, 101, 001, 10, 1\} \cup \{\}\\
\end{split}
\end{equation*}

Cette application ne définit pas un code car : $R_3 \cap C = \{001, 101\}$.

Une preuve directe~: (qui utilise la construction précédente).

$\phi^{-1}(001\ 01\ 10\ 1\ 001) = \{adf, cba\}$ et 
$\phi^{-1}(001\ 01\ 10\ 1\ 101) = \{ade, cbb\}$

{\bf Question 2 :}
\begin{equation*}
\begin{split}
C   & = \{001, 1010, 001010, 0110, 1101, 1001, 111\}\\
R_0 & = \{010\}\\
R_1 & = \{\} \cup \{\}\\
R_i & = \emptyset \text{ pour } i > 0\\
\end{split}
\end{equation*}

Cette application définit un code car : $\forall i, R_i \cap C = \emptyset$.

Le code est à delai borné car : $\forall i > 1, R_i = \emptyset$.

{\bf Question 3 :} 
\begin{figure}[H]
\centering\epsfig{file=exo1c.eps, width=.6\textwidth}
\caption{automate avec sortie pour décoder $\phi$}
\end{figure}


{\bf Question 4 :} 
Un programme lex possible pour decoder $\phi$.
\verbatiminput{exo1d.lex}

\end{Cor}
