
\documentclass[TD,12pt]{poly}
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\Module{de Statistique}
\Lieu{2014-2015}

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\date{}
\begin{document}

\AfficheTitreStat

\begin{center}
{\Large $Khi_2$ et Tests non-Paramétriques} 
\end{center}

\section{Statistiques paramétriques vs non-paramétriques}
\subsection{Contraintes des tests paramétriques}
\begin{itemize}
\item Normalité des distributions
\item Homogénéité des variances (Homosédastisité)
\item Peu applicable aux effectifs réduits - approx. $n<30$
\end{itemize}
\subsection{Caractéristiques principales des tests non-paramétriques}
\begin{itemize}
\item Pas de contrainte sur la population dont est extrait
  l´échantillon.
\item Seuls tests applicable pour un échantillon de taille inférieure
  à $6$.
\item Seuls tests permettant de comparer des échantillons issus de
  populations ayant des distributions différentes.
\item Seuls tests traitant des données qualitatives exprimées soit en
  variables nominales soit par la comparaison de rangs.
\item \textbf{Inconvénient} : moins puissants que les tests
  paramétriques lorsqu'ils sont utilisables.
\end{itemize}

\section{Vocabulaire initial - Petit rappel}
\subsection{Les hypothèses}
Une hypothèse est une assertion sur les caractéristiques des données
analysées et du modèle qu'on souhaite leur appliquer.
\\
L'hypothèse $H_0$ est toujours la première hypothèse testée. Lorsque
l'on compare deux échantillons, deux populations, deux groupes de
données \ldots, $H_0$ est l'hypothèse nulle selon laquelle il n'existe pas de
différence entre ces deux ensembles. On cherche donc souvent à rejeter
$H_0$.
\\
Lorsque l'on a rejeté $H_0$, il est ensuite possible de tester une
hypothèse alternative, appelée $H_1$.

\paragraph{}

\textbf{Exemple} : pour tester l'efficacité d'un médicament, on
constitue 2 groupes de patients, l'un prenant le médicament, l'autre
un placebo. $H_0$ est l'hypothèse selon laquelle il n'y a pas de
différence observée entre ces deux groupes. $H_1$ pourrait être
l'hypothèse selon laquelle les patients ayant pris le médicament sont
moins malades que ceux ayant pris le placebo.   

\subsection{Tableau de contingence}
Un tableau de contingence permet de représenter la répartition d'effectifs d'un
échantillon en fonction de la valeur d'une observation, Cette valeur
peut être discrète ou continue, dans ce cas elle sera modélisée en
classes.
\paragraph{}
\textbf{Exemple} : $137$ patients atteints de cirrhose sont divisés en
$2$ groupes. Le premier groupe $C_1$ recoit un médicament, le secoond
$C_2$ un placebo. Le stade d´évolution de la maladie constitut la
variable observée et est définie en $3$ modalités pour $3$ stades
d´évolution : $d_1=1$ $d_2=2$ $d_3=3$. 
\paragraph{}
\hspace{-0.5cm}\begin{tabular}{|l||c|c|c|c||}
\hline
&\multicolumn{3}{c}{Stade}&
\\ \hline
&1&2&3&Total
\\ \hline
\hline
placebo& 13 & 29 & 26 & 68
\\ \hline
traitement & 16 & 37 & 16  & 69
\\ \hline
\hline
Total  & 29  & 66 & 42 & 137 
\\ \hline
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c||}
\hline
&\multicolumn{3}{c}{Stade}&
\\ \hline
&1&2&3&Total
\\ \hline
\hline
placebo& 0.191 & 0.426 & 0.382 & 1
\\ \hline
traitement & 0.232 & 0.536 & 0.232  & 1
\\ \hline
\hline
Total  & 0.212  & 0.482 & 0.306 & 1 
\\ \hline
\end{tabular}

\paragraph{}
On peut voir que la proportion de patients en stade $3$ pour les
patients sous traitement est moins forte que celle des patients sous
placebo.
\\
\textbf{Question} : cette différence est-elle significative ?

\section{Test du Khi-2}
Le test du Khi-2 aussi appelé test du Khi-2 de Pearson (qui a établi
la théorie générale de la corrélation) consiste à mesurer l'écart qui
existe entre la distribution des effectifs théoriques et la
distribution des effectifs observés d'un échantillon, et à tester si cet écart est
suffisamment faible pour être imputable aux fluctuations
d'échantillonage.
 
\textbf{Principe} : 
\subsection{Calcul des effectifs théoriques}
Si nous disposons d'un T1 tableau de contingence des effectifs
observés, on définit un tableau T2 d'effectifs théoriques :
\paragraph{}
\begin{tabular}{|l||l|l||l|}
\hline
T1 &Xa &  Xb  &
\\  \hline \hline
Ya & a &  b  & L1 
\\  \hline
Yb & c  & d & L2 
\\  \hline \hline
 & C1& C2 & N 
\\  \hline
  \end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{|l||l|l||l|}
\hline
T1 &Xa &  Xb  &
\\  \hline \hline
Ya & a' &  b'  & L1 
\\  \hline
Yb & c'  & d' & L2 
\\  \hline \hline
 & C1& C2 & N 
\\  \hline
  \end{tabular}
\paragraph{}
Les valeurs a',b',c'et d' sont calculés suivant les formules suivantes
:
$$ a'= \frac{C1 * L1}{N} \hspace{0.3cm}  b'= \frac{C2 *
  L1}{N} \hspace{0.3cm} c'= \frac{C1 * L2}{N}\hspace{0.3cm}  d'=
\frac{C2 * L2}{N} $$

\textbf{Attention} : dans un tableau à 4 cases, chaque effectif
théorique doit être au moins égale à $5$.

\subsection{Calcul du Khi-2 et interprétation} 

La formule générale du Khi-2 est : $ Somme = \frac{(Observes -  Theoriques)^2}{Theoriques}$

\paragraph{}
Soit : $ X^2 = \frac{(a-a')^2} {a'} + \frac{(b-b')^2} {b'} +
\frac{(c-c')^2} {c'} + \frac{(d-d')^2} {d'} $
\\
La valeur obtenue est ensuite comparée avec un seuil lu dans la table
du Khi-2 pour un degré de liberté et pour un risque d'erreur fixé.
\\

\begin{itemize}
\item \textbf{Degré de liberté} Pour interpréter la valeur de Khi-2 obtenue, on doit connaitre le
degré de liberté (d.d.l.) du modèle. 
\\
Degrés de liberté = (nb lignes - 1 ) X (nb colonnes - 1)
\item \textbf{Risque d'erreur} En général on accepte un risque d'erreur de
  0.5\%, si l'on désire un test très stringeant on peut aussi choisir
  un risque de 0.1\%.  
\end{itemize}
Si  la valeur du $Khi_2$ est supérieure à celle fournie dans la table, on
rejete $H_0$ et on dira qu'il n'y a pas de lien entre les variables.

\subsection{Exercice}
\begin{enumerate}
\item Calculer le tableau des effectifs  théoriques pour le tableau de
contingence des patients atteints de cirrhose.
\item Saisir les valeurs dans R et appliquer un test de $Khi_2$ : \texttt{chisq.test(matrice)}
\end{enumerate}

\section{Tests de rang}
Lorsque $2$ échantillons ne suivent pas les distributions normales, il est possible
de comparer leur rang dans l'échantillon plutôt que la valeur. 


\subsection{Test de Wilcoxon}

\paragraph{Définition de $H_0$} : la différence moyenne entre les deux
mesures est nulle. 


  \begin{itemize}

  \item Test 2 échantillons indépendants.
  \item Hypothèse : les 2 groupes de valeurs ont-ils des
    distributions identiques ?
  \item Utilise le rang des valeurs calculé dans un ensemble unique.

  \item Statistique de rang : s'affranchit de la différence de
    moyenne. 
 \end{itemize}



\paragraph{Méthode} : Soit deux échantillons $E_1$ et $E_2$ de taille
$n_1$ et $n_2$, on rassemble les deux échantillons et on range les
valeurs dans l'ordre (de la plus petite à la plus grande). On calcule
ensuite pour chaque échantillon la somme des rangs de ses valeurs (si
plusieurs valeurs sont égales on leur attribuera la moyenne des rangs
qu'elles auraient eu si elles n'avaient pas été égales). On note $U$
la plus petite de ces deux sommes. Pour savoir si l'on rejete $H_0$
avec un risque d'erreur $\alpha$ il faut consulter une table du test
de Wilcoxon qui suivant les effectifs $n_1$ et $n_2$ donne quelle est
la valeur maximale attendue pour rejeter $H_0$ en fonction du risque
choisi $ 0.005$, $0.01$, $0.25.$ ect...Si la valeur de la statistique
de Wilcoxon est supérieure à cette valeur, on ne peut pas rejeter $H_0$.

\textbf{NB} : la somme des rangs doit être identique.

\paragraph{Exercice}
Pour ce jeu de valeurs, on ne peut pas rejeter $H_0$. 
\\
Des prélévements sanguins ont été réalisés sur des Natives Amercicains
et sur des Caucasiens, voici les valeurs pour chaque échantillon :
\begin{itemize}
\item Native Americains : 8.5,9.48,8.65,8.16,8.83,7.76,8.63
\item Caucasiens : 8.27,8.2,8.25,8.14,9.00,8.1,7.2
\end{itemize}
Commande R : \texttt{ wilcox.test(Na, Ca)} - impossible d'utiliser
\texttt{paired=TRUE} car un individu ne peut être à la fois Caucasien
et Native Americain..
\\
Résultats :
\\
\begin{alltt}
        Wilcoxon rank sum test

data:  Na and Ca 
W = 35, p-value = 0.2086
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 
\end{alltt}

\subsection{Test de Kruskal et Wallis}
\begin{itemize}
 \item Généralisation du test de Wilcoxon a N échantillons.
  \item Permet de déterminer si au moins un échantillon est différent.
  \item Commande R : \texttt{kruskal.test(vecteur,facteur)}
  \item Exercice : tester la co-localisation de protéines sur la
    membranne (analyse d'une image - qui sera fournie sous forme de 3
    colonnes chacune representant une couleur - RGB).
\end{itemize}

\subsection{Corrélations de Spearman}

Le coefficient de corrélation de Spearman, appelé $R$ ou $\rho$ est
similaire au coefficient 
de corrélation de Pearson mais est calculée sur les rangs. Pour
calculer le rang R de Spearman il faaut que les variables aient été
mesurées sur une échelle ordinale, pour pouvoir être ordonnées. 

\\
Commande R : \texttt{ cor(V1,V2,method=''spearman'')}


\end{document}
  \item Application : hauteur de 2 sortes d'arbres dans une
    forêt. Question : les hauteurs médianes de ces 2 peuplements
    sont-elles égales ?
  (
