Intégrales Eulériennes

La fonction gamma a été introduite par Euler afin de généraliser la fonction factorielle pour des valeurs non entières. Elle a été étudiée plus tard par des mathématiciens éminents, tels que Legendre, Gauss, Liouville, Wierestarss, Hermite et beaucoup d'autres en raison de son importance en analyse mathématique.
Définition. Soit $x>0$ un réel donné. Posons :

$$\Gamma (x)=\int_0^1(-\ln(t))^{x-1}dt.$$

Nous avons alors :

Théorème 1. Pour tout $x>0$ :

$$\Gamma (x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,$$

ou encore :

$$\Gamma (x)=2\int_0^{\infty}t^{2x-1}e^{-t^2}dt.$$

Démonstration. Il suffit d'appliquer le changement de variable $u=-\ln(t)$ pour prouver la première formule et le changement de variable $u^2=-\ln(t)$ pour la seconde.

Ce théorème montre que la fonction gamma $\Gamma(x)$ (appelée aussi intégrale eulérienne) est bien définie pour $x>0$.

Valeurs Particulières de $\Gamma(x)$

Rappelons d'abord un résultat bien connu sur l'application de changement en coordonnées polaires :
Théorème 2. Soit $\Omega$ une partie fermée et bornée de $\mbox{\rm I$\!$R} \times \mbox{\rm I$\!$R}$. Soit $f$ une application continue sur $\Omega$. Désignons par ailleurs, par $\phi$ l'application qui associe les coordonnées cartésiennes d'un point à ses coordonnées polaires :

$$\phi \ : \ (r,\theta) \ \mapsto \ (x,y)=(r\cos \theta, r\sin \theta),\ r\in \mbox{\rm I$\!$R}^+, \ \theta \in [0,2\pi].$$

Alors :

$$\int \int_{\phi(\Omega)}f(x,y)dx dy = \int \int_{\mbox{\rm I$... ...^+\times [0,2\pi]} f(r \cos \theta, r\sin \theta)rdr d\theta.$$

Application . Soit $f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$. Nous avons en vertu du théorème précédent :

$$\begin{array}{lll} \int_{\mbox{\rm I$\!$R}\times \mbox{\rm I... ... &=& 2\pi\ \int_0^{\infty}e^{-r^2}rdr \\ &=& \pi. \end{array}$$

Par ailleurs :

$$\int \int_{\mbox{\rm I$\!$R}\times \mbox{\rm I$\!$R}}e^{-(x^2... ...}dx dy \ =\ \left(\int_{\mbox{\rm I$\!$R}}e^{-x^2}dx \right)^2,$$

d'où :

$$\int_{\mbox{\rm I$\!$R}}e^{-x^2}dx \ =\ \sqrt{\pi}.$$

Théorème 3. Nous avons :

$$\Gamma(1)=1$$

et

$$\Gamma(x+1)= x\Gamma(x).$$

Démonstration. La première équation est évidente et la seconde se démontre en utilisant l'intégration par partie.

On en déduit :

Théorème 4. Pour tout $n \in \mbox{\rm I$\!$N}$ :

$$\Gamma(n+1)=n!.$$

Il existe aussi des expressions closes pour $\Gamma(x)$, lorsque $x$ est de la forme $n+\frac 1 2$, où $n \in \mbox{\rm I$\!$N}$ :

Théorème 5. Nous avons :

$$\Gamma\left(\frac 1 2\right)=\sqrt{\pi}$$

et

$$\Gamma\left(\frac 1 2 + n\right)= \sqrt{\pi}\ \frac {(2n)!}{{2^{2n}}n!}.$$

Démonstration. Pour le calcul de $\Gamma(\frac 1 2)$, nous effectuons le changement de variable $t=u^2$. Il vient :

$$\Gamma(\frac 1 2)=\int_0^{\infty}t^{-1/2}e^{-t}dt =2 \int_0^{\infty} e^{-u^2}du.$$

Mais cette dernière intégrale vaut $\frac 1 2 \sqrt{\pi}$ (voir l'application ci-dessus). Nous avons donc $\Gamma\left(\frac 1 2\right)=\sqrt{\pi}$.

Pour montrer la seconde égalité, procédons par une récurrence sur $n$. Pour $n=0$, elle devient l'égalité précédente. Supposons-la vraie pour $n$ et montrons-la pour $n+1$. On a en vertu du théorème 4 :

$$\begin{array}{lll} \Gamma(n+1+\frac 1 2)& = & (n+\frac 1 2) \... ... &=& \sqrt{\pi}\frac {(2(n+1))!}{2^{2(n+1)}(n+1)!},\end{array}$$

ce qui établit le théorème.