Solution de l'exercice 5

  1. En programmation linéaire, l’utilisation directe des valeurs absolues n’est pas admise. On peut contourner cette difficulté en introduisant des variables supplémentaires qui représentent des expressions en valeur absolue :
    $X_i$ = | a sin($t_i$) + b tg($t_i$) + c –$Q_i$ | pour i = 1, 2, .., n
    Cette introduction entraîne 2n+3 contraintes :
    a ,b,c $\geq$ 0
    $X_i$$\geq$ a sin($t_i$) + b tg($t_i$) + c – $Q_i$
    $X_i$ $\leq$ - a sin($t_i$) - b tg($t_i$) - c + $Q_i$
    pour i = 1, 2, .., n

    Sous ces contraintes, il faut minimiser la fonction économique $X_1$ + $X_2$ + …. + $X_n$.
    Ce programme est clairement linéaire. On doit noter toutefois que le système d’inéquation ci-dessus n’implique pas $X_i$ = | a sin($t_i$) + b tg(ti) + c –$Q_i$ | ; mais plutôt
    $X_i$ $\geq$ | a sin($t_i$) + b tg(ti) + c –$Q_i$ |.
    Toutefois, le fait qu’on cherche à minimiser la somme de $X_i$, qui sont nécessairement non négatifs, entraîne que chaque $X_i$ doit avoir la plus petite valeur possible et ceci n’est vrai que si chaque $X_i$ vaut
    | a sin($t_i$) + b tg($t_i$) + c –$Q_i$ |.
    Nous aurons donc le programme linéaire suivant :
    Minimiser z = $X_1$ + $X_2$ + …+ $X_n$ sous

    $X_i$$\leq$ a sin($t_i$) + b tg($t_i$) + c – $Q_i$
    $X_i$ $\leq$ - a sin($t_i$) - b tg($t_i$) - c + $Q_i$
    pour i = 1, 2, .., n
    a ,b, c $\geq$ 0.

    Notons que ce programme linéaire possède n+3 inconnues.

  2. De même, la fonction économique d’un programme linéaire ne peut directement faire appel à un maximum. Appelons Y ce maximum et introduisons les variables $X_i$ avec les contraintes précédentes. Le problème est alors de minimiser Y sous

    Y $\geq$ $X_i$
    $X_i$$\leq$ a sin($t_i$) + b tg($t_i$) + c – $Q_i$
    $X_i$ $\leq$ - a sin($t_i$) - b tg($t_i$) - c + $Q_i$
    pour i = 1, 2, .., n
    a ,b, c $\geq$ 0.
    Le raisonnement précédent implique qu’à l’optimum, Y devient égal à
    $Max_{i=1,2,\ldots,n}[\vert a \times sin(t_i) + b \times tg(t_i) + c- Q_i\vert]$.

 

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