Solution de l'exercice 5
En programmation linéaire, l’utilisation directe des valeurs
absolues n’est pas admise. On peut contourner cette difficulté
en introduisant des variables supplémentaires qui représentent
des expressions en valeur absolue :
= | a sin(
) + b tg(
) + c –
| pour i = 1, 2, .., n
Cette introduction entraîne 2n+3 contraintes :
a ,b,c 0
a sin(
) + b tg(
) + c –
- a sin(
) - b tg(
) - c +
pour i = 1, 2, .., n
Sous ces contraintes, il faut minimiser la fonction économique +
+ …. +
.
Ce programme est clairement linéaire. On doit noter toutefois que
le système d’inéquation ci-dessus n’implique pas
= | a sin(
) + b tg(ti) + c –
| ; mais plutôt
| a sin(
) + b tg(ti) + c –
|.
Toutefois, le fait qu’on cherche à minimiser la
somme de , qui sont nécessairement non négatifs, entraîne
que chaque
doit avoir la plus petite valeur possible et ceci n’est vrai
que si chaque
vaut
| a sin() + b tg(
) + c –
|.
Nous aurons donc le programme linéaire suivant :
Minimiser z = +
+ …+
sous
a sin(
) + b tg(
) + c –
- a sin(
) - b tg(
) - c +
pour i = 1, 2, .., n
a ,b, c 0.
Notons que ce programme linéaire possède n+3 inconnues.
De même, la fonction économique d’un programme linéaire
ne peut directement faire appel à un maximum. Appelons Y ce maximum
et introduisons les variables avec les contraintes précédentes. Le problème
est alors de minimiser Y sous
Y
a sin(
) + b tg(
) + c –
- a sin(
) - b tg(
) - c +
pour i = 1, 2, .., n
a ,b, c 0.
Le raisonnement précédent implique qu’à l’optimum,
Y devient égal à
.