Solution de l'exercice 3

  1. Le programme linéaire s’écrit :
    \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
Maximiser \quad z = - 3X_1 - 4X_2 -...
...& X_5\geq0 &, & X_6\geq0 & & \\
\end{array}\end{array}\right.
\end{displaymath}
  2. On constate que la solution proposée vérifie les contraintes : elle est donc admissible. La valeur de la fonction économique pour cette solution est de 186 F.
    La matrice B correspondant aux variables non utiles $X_1$, $X_2$, $X_5$, $X_6$ est définie par :
    \begin{displaymath}
B =
\left(
\begin{array}{cccc}
0,4 &0,5 &0 & 0\\
0 &0 &0,7 &0 \\
0 &0,4 &0 & 0\\
0,6 &0,1 &0,3 &1 \\
\end{array}\right)
\end{displaymath}
    Comme son déterminant vaut -0,112, elle est inversible ; la solution proposée est donc de base.
    Partant d’une base initiale formée de variables artificielles, en faisant successivement entrer les variables $X_1$, $X_2$, $X_5$ et $X_6$ dans la base (par exemple), on obtient le tableau du simplexe correspondant à cette solution de base:

     

    i   1 2 3 4 5 6   Ui  
    1 1 0 0,3 -0,5 0 0 50
    2 0 1 0 1 0 0 3
    5 0 0 0 0,2 1 0 30
    6 0 0 0,7 0,3 0 1 17
         
      Dj 0 0 -0,1 0,66 0 0 186 z

    Comme D4 est positif, la solution n’est pas optimale.
    Une autre manière, plus rapide, d’obtenir ce tableau, consiste à remarquer (sachant que la base consiste en $X_1$, $X_2$, $X_5$ et $X_6$) que $X_6$ n’est pas présent dans (4) : cette équation servira donc à exprimer $X_6$ ; puis (3) pour exprimer $X_2$, (2) pour $X_5$ et enfin (1) pour $X_1$.

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