Solution de l'exercice 2

  1. Puisqu’il s’agit d’obtenir une tonne d’aliment, en appelant respectivement, $X_1$, $X_2$ et $X_3$ les fractions d’orge, d’arachide et de sésame dans la dite tonne, on doit avoir
    $X_1 +X_2 + X_3 = 1$, qui sera une contrainte de notre problème.
    Remarque : On peut parler soit en fraction de tonne, soit en pourcentage, c’est équivalent.
    Par ailleurs, l’aliment doit contenir au moins 22% de protéines. D’où la contrainte :
    $12X_1 + 52X_2 + 42X_3 \geq 22$.
    Et de même, pour les graisses, on doit avoir :
    $ 2X_1 + 2X_2 + 10 X_3 \geq 3,6$.
    D’autre part, comme on désire fabriquer le produit à coût minimal, on devra minimiser la somme :
    $25X_1 + 41X_2 + 39 X_3$.
    Soit, en récapitulant, le programme linéaire :

    \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
Minimiser \quad z = 25X_1 + 41X_2+ ...
...eq 0&, & X_3 \geq 0 &(4)\\
\par
\end{array}\end{array}\right.
\end{displaymath}

  2. En tenant compte de la contrainte d’égalité, on remarque qu’on peut réduire le nombre de variables du problème en écrivant :
    $ X_1 = 1 - X_2 - X_3$
    La fonction à optimiser devient alors
    $z = 25(1 - X_2 - X_3) + 41X_2 + 39 X_3$.
    Soit
    $z = 25 + 16X_2 + 14X_3$
    Comme il s’agit de faire varier $X_2$ et X3, la constante 25 n’intervient pas et la fonction à optimiser est:
    $Min\, 16X_2 + 14X_3$
    Sous les contraintes
    $12(1 - X_2 - X_3) + 52X_2 + 42 X_3 \geq 22$
    $2(1 - X_2 - X_3) + 2X_2 + 10 X_3 \geq 3,6$
    $X_2,X_3 \geq 0$.
    Mais, la contrainte $X_1$ =0 du problème initial ne saurait être omise, et elle s’écrit alors :
    $1 - X_2 - X_3 \geq 0$.
    Soit aussi :
    $X_2 + X_3 \leq 1$.

    Soit en récapitulant, le programme linéaire suivant :
    \begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
Minimiser \quad z = 16X_2 + 14X_3\\...
...q 0 &, & X_3 \geq 0& & &\\
\par
\end{array}\end{array}\right.
\end{displaymath}

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