Solution de l'exercice 1

Formalisation du problème
\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
Maximiser \quad z = 1700 X_1 + 3200...
...1 \geq 0 &, & X_2 & \geq & 0 \\
\end{array}\end{array}\right.
\end{displaymath}


Le nouveau programme linéaire s'écrit:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
Maximiser \quad z = 1700 X_1 + 3200...
...0 &, & X_2 & \geq & 0 & \\
\par
\end{array}\end{array}\right.
\end{displaymath}

La contrainte (1) entraine $X_2\leq 13$ et la contrainte (6) $X_2 \leq 11$.

La contrainte (1) est donc redondante. De mème (5) entraine $X_1 \leq 19$, mais (8) entraine $X_1 \leq 17$.

Donc la contrainte (5) est redondante.

(2) s'écrit $ 3X_1 + 8X_2\leq 120$. (7) s'écrit $3X_1 + 9X_2 \leq 108$.

La contrainte (2) est donc redondante.

(7) s'écrit (7'): $ X_1 + 3X_2\leq 36$. (8) s'écrit $ X_1 \qquad \leq 17$.

En les additionnant, on obtient $2X_1 + 3 X_2 \leq 53$. La contrainte (3) est donc redondante. (6) et (8) s'écrivent (6'): $X_2 \leq 11$ et (8'): $X_1 \leq 17$. Additionnons à (7') l'inégalité (6') et 5 fois l'inégalité (8'). On obtient $ 6X_1 + 4X_2 \leq 132 $ $ 3X_1 + 2X_2 \leq 66$ La contrainte (4) est donc redondante.

Le problème devient donc:


\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
Maximiser \quad z = 1700 X_1 + 3200...
...\geq 0 &, & X_2 & \geq & 0
\par
\end{array}\end{array}\right.
\end{displaymath}
que le lecteur résoudra aisément: $X_1=11$ , $X_2=25/3$ et $z = 45367 F$

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